基于泰勒展开的航空材料拉伸检测不确定度研究
摘 要：由实验室设备检测得到的试样的测量值，仅仅是被测量的估计值，测量过程中的随机效应及系统效应，均会导致测量的不准确性，这种不准确性用数值进行衡量，即为该测量值的不确定度。本文使用 3D 打印合金试验数据，首先通过理论分析，基于泰勒公式研究了尺寸测量引入的不确定度，给出了抗拉强度、屈服强度、断后伸长率和断面收缩率等检测项目测量不确定度的表达式;然后选取同批次航空材料试验数据计算其扩展不确定度;最后通过对试验数据进行分析，研究了基于泰勒展开计算扩展不确定度方法对于预测该种材料的抗拉强度和屈服强度等的扩展不确定度范围的可行性;通过进一步优化该算法，固化流程，设计信息化系统，扩充样本数量并建立数据库进行动态计算，得到优化后的扩展不确定度计算方法，验证了信息化系统对于预测该种材料的断后伸长率和断面收缩率的扩展不确定度范围的可行性。
王艾伦; 尚进; 曹玮， 科学技术创新 发表时间：2021-07-05
关键词：不确定度;3D 打印合金;泰勒公式
1 背景
由实验室设备检测得到的试样的测量值，仅仅是被测量的估计值，测量过程中有很多随机因素以及系统效应，均会导致不确定度[1-3] 。不确定度的评定方法流程主要包含分析不确定度影响因素并建立数学模型、评定测量不确定度、计算合成不确定度、计算扩展不确定度等四个步骤[4] 。不确定度描述了测量结果的正确性的可疑程度或不肯定程度。对于金属材料和非金属材料的力学理化性能参量进行测量的时候，不论试验人员、试验仪器设备、试验样品、试验方法、试验环境等多方面的因素如何完善，其值的测量结果也会存在不确定性[5-7] 。随着国内外航空航天等高新技术产业的飞速发展，在很多测量过程中，特别是材料性能的测量试验中，都需要评定试验结果的不确定度以及其可靠的概率[8-10] 。
在实际检测中，有很多影响因素可能导致不确定度的来源。例如：被测量的复现不理想;对被测量由于环境条件影响认识不足;测量仪器的计量性能的局限性等因素[11]。针对拉伸性能的检测过程，国内外学者大致将结果的影响因素分为四大类：即重复性引入的测量不确定度;试验机载荷引入的测量不确定度;待测样品的尺寸测量引入的测量不确定度以及检测速率引入的测量不确定度等[12-13]。国内外相关检测标准针对拉伸检测的测量不确定度评定均有一定的要求，但都没有一套完整的方案来进行评定。特别是针对航空材料拉伸检测测量不确定度的研究较少，目前针对重复性、试验机载荷以及检测速率的研究已经有了一定的进展;但针对待测样品的尺寸测量引入的测量不确定度仍较为困难。本文主要考虑泰勒公式的展开式，进行航空材料拉伸检测测量不确定度研究。
2 理论分析
2.1 泰勒公式
泰勒公式，主要应用在数学和物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，公式如下：其中 f (n) (x0)表示 f(x)的第 n 阶导数，等号右侧的多项式称为函数在 x0 处的泰勒展开式，剩余的 Rn(x)是泰勒公式的余项，是 (x-x0)n 的高阶无穷小。
2.2 (1-x) -1 的展开式
研究待测样品的尺寸测量引入的测量不确定度，主要是研究如何将测量设备的尺寸检测测量不确定度(长度单位，通常为 mm)转化为针对待测样品的尺寸测量引入的其它检测测量不确定度(强度单位，通常为 MPa 或无量纲单位，通常为%)。由于尺寸的测量值主要集中在数学模型的分母处，例如抗拉强度(MPa)为载荷(kN)与待测样品的横截面积(mm2 )的比值。因此选择(1-x) -1 的展开式进行后续的研究，(1-x) -1 展开式在 x 趋近于 0 时，其形式如下：由于测量不确定度本身就是测量过程中的一个极微小的量，该值与被测量估计值的比值基本可以认为是一个趋近于 0 的数值，二阶小量以及后续的余项忽略不计。因此本文研究只考虑展开式的一阶项进行后续研究。
3 针对待测样品的尺寸测量引入的测量不确定度
3.1 抗拉强度
拉伸检测抗拉强度的数学模型如下公式：Rm=Fm/S0 式中 Rm 表示抗拉强度，Fm 表示试验过程中载荷的最大值， S0 表示待测样品的原始横截面积。应用泰勒公式展开并忽略二阶小量后，可以得到：因此可以得到：
3.2 屈服强度
拉伸检测屈服强度的数学模型如下公式：R0.2=F0.2/S0 式中 R0.2 表示抗拉强度，F0.2 表示试验过程中塑性应变为 0.2%时的载荷值，S0 表示待测样品的原始横截面积。由于屈服强度与抗拉强度的数学模型相似程度较高，此处不做推导，给出：
3.3 断后伸长率
拉伸检测断后伸长率的数学模型如下公式：Z=(Lu-L0)/L0 式中 Lu 表示断后标距，L0 表示原始标距。由于两个参量均通过尺寸测量设备直接获得，因此需要分别考虑两者引入的测量不确定度。首先计算由原始标距测量引入的测量不确定度，对应用泰勒公式展开并忽略二阶小量后，可以得到：因此可以得到：然后计算由断后标距测量引入的测量不确定度：因此可以得到：
3.4 断面收缩率
拉伸检测断面收缩率的数学模型如下公式：A=(S0-Su)/S0 式中 Su 表示断后横截面积，S0 表示原始横截面积。由于两个参量均通过尺寸测量设备直接获得，因此需要分别考虑两者引入的测量不确定度。由于断面收缩率与断后伸长率的数学模型相似程度较高，此处不做推导，但需要说明的由原始横截面积测量引入的测量不确定度推导过程与断后标距测量引入的测量不确定度类似;同样的，由断后横截面积测量引入的测量不确定度推导过程与原始标距测量引入的测量不确定度类似。给出
4 数据分析
4.1 拉伸检测扩展不确定度的求解
本文研究分析拉伸检测测量不确定度的试验数据选择 5 组同批次 3D 打印合金来进行计算，主要应用位置位于发动机燃油喷嘴处，试验数据经过修约后列于表 1 中，修约规则参考 ASTM E8/E8M 执行。
除去尺寸测量因素引入的测量不确定度，本文研究还考虑了其它影响因素，例如重复性、载荷以及检测速率等，相关参数列于表 2 中。根据 ASTM E8/E8M 的相关要求，本文研究选择的尺寸测量设备为数显游标卡尺，经过校准得到其测量不确定度为 0.01mm，进一步分析可以发现对于断后伸长率，ud0(mm)可以看作是 L0 的高阶无穷小，因此原始标距测量引入的测量不确定度忽略不计;同样的，对于断面收缩率，2ud0(mm)可以看作是 d0 的高阶无穷小，因此原始横截面积测量引入的测量不确定度忽略不计。其它影响因素引入的测量不确定度根据表 1 试验数据计算。
通常情况下，取置信概率为 95%计算扩展不确定度，此时包含因子 k=2。因此得到拉伸检测扩展不确定度，如表 3 所示。
4.2 拉伸检测扩展不确定度的分析
本文研究选用同批次多组相同工艺的 3D 打印合金试验数据进行拉伸检测扩展不确定度的分析。将抗拉强度、屈服强度、断后伸长率以及断面收缩率等数据和其所对应的扩展不确定度的上下门限值共同绘制在统一曲线图中，如图 1 至图 4 所示。
经过观察可以发现，对于抗拉强度和屈服强度等检测项目来说，同批次多组相同工艺的试验数据完全落在了不确定度的上下门限内，本文研究给出的扩展不确定度计算方法和样本数量对于预测该种材料的抗拉强度和屈服强度的扩展不确定度范围是可行的。对于断后伸长率等检测项目来说，只有少数试验数据落在了不确定度评定的上下门限内，大部分试验数据低于不确定度的下限值。对于断面收缩率等检测项目来说，约有一半的试验数据落在了不确定度评定的上下门限内，少部分试验数据低于不确定度的下限值。分析其主要原因有如下几点：首先，即便对于同批次多组相同工艺的试样来说，断后伸长率以及断面收缩率受机械加工工艺、材料内部缺陷以及试样表面状态等多种不确定因素的影响较大，因此导致结果的分散程度较高;其次，断后伸长率和断面收缩率需要手动进行尺寸测量，测量过程的精准程度直接作用于结果的准确程度，人为因素影响较大。而抗拉强度或屈服强度等数值由试验设备直接给出，几乎不存在人为因素的干扰;最后，断后伸长率和断面收缩率对于计算不确定度所选取的样本数量较为敏感，应该扩大样本的数量以得到更为精确的不确定度范围。综上所述，本文研究给出的扩展不确定度计算方法和样本数量选择对于预测该种材料的断后伸长率和断面收缩率的测量不确定度范围较为保守，上下门限值较为接近，为进一步避免人为因素导致的影响，后续可以扩充样本数量或建立数据库进行动态计算。
4.3 优化后的扩展不确定度计算方法
基于上述章节样本数量对于断后伸长率和断面收缩率计算不确定度所造成的影响，本文研究通过增加样本数量的方法来进行优化。由于扩展不确定度的计算过程较为复杂，随着样本数量的增多，计算量逐步增加;但是其计算过程较为固化，因此考虑引入信息化手段建立数据库通过动态计算扩展不确定度，来解决上述问题。如图 5 所示，为根据泰勒展开公式编写的拉伸检测扩展不确定度计算系统。系统主要设计思路是将本文中拉伸检测抗拉强度、屈服强度、断后伸长率和断面收缩率的计算方法通过代码嵌入系统中，设计可视化的界面来进行操作。每次输入的试验数据可以导入数据库，并保存下来，作为后续相同批次拉伸试样的计算样本;此外通过固化流程，使得计算过程较为便捷准确。
拉伸检测扩展不确定度评定系统软件主要包含试验数据模块、试验结果计算模块、参数选择模块和扩展不确定度计算模块等六个模块。试验数据模块主要用于某次试验结果的输入，主要通过输入某次拉伸试验的测量结果，包含两个关键强度值结果和尺寸测量结果等。试验结果计算模块主要用于通过输入的尺寸测量结果由软件计算得到两个关键尺寸变化率结果。提示框模块主要用于通过提示用户下一步的操作，或是在用户执行错误操作后，给予一定的建议和解决方案。
试验数据模块可以实现某次试验结果的输入，主要通过输入拉伸试验检测的几项关键数据来进行后续的计算工作，并将试验数据导入数据库。该模块主要包含 6 个输入接口组成。输入接口包含屈服强度、抗拉强度、初始直径、断后直径、初始标距和断后标距 6 个参数。如图 6 所示，为一个拉伸试样的扩展不确定度计算的算例。
借助优化后扩展不确定度计算系统，重新计算同批次多组相同工艺的 3D 打印合金断后伸长率和断面收缩率的扩展不确定度，结果如表 4 所示。对比 4.2 章节图中相关数据，可以发现此时扩展不确定度的上下门限值范围已经超过 20%，显然已经可以涵盖所有试验数据。本文研究给出的优化后的扩展不确定度计算方法和信息化系统对于预测该种材料的断后伸长率和断面收缩率的扩展不确定度范围是可行的。
5 结论
给出了一种基于泰勒展开的航空材料拉伸检测测量不确定度计算方法。通过理论分析，得到了针对待测样品的尺寸测量引入的测量不确定度在抗拉强度、屈服强度、断后伸长率和断面收缩率等检测项目的表达式。该表达式可以直接应用于测量不确定度的计算，对于拉伸检测等试验、控制与测试过程具有工程价值。
选取同批次 5 组相同工艺的 3D 打印合金试验数据进行拉伸检测测量不确定度的计算，计算得到了该种航空材料抗拉强度、屈服强度、断后伸长率和断面收缩率的扩展不确定度。
通过对比分析多组相同工艺的试验数据，结果表明本文研究给出的测量不确定度计算方法和样本数量对于预测该种材料的抗拉强度和屈服强度的测量不确定度范围是可行的;设计信息化系统通过扩充样本数量并建立数据库进行动态计算，得到优化后的扩展不确定度计算方法和信息化系统对于预测该种材料的断后伸长率和断面收缩率的扩展不确定度范围是可行的。