深度学习下高等代数混合式教学模式的构建与实践

　　摘要：高等代数作为大学数学专业的专业基础课程，其高度的概念抽象、对象抽象、推理抽象易使学生感觉枯燥，进而导致学生学习兴趣和学习动力的丧失.为此，构建一种顺应新形势的混合式教学模式成为数学教师必须思考的问题.通过对高等代数的课程特点与教学现状的分析，探究了深度学习下高等代数课程混合式教学模式的构建与实践.

　　本文源自余跃玉， 高师理科学刊 发表时间：2021-07-28

　　关键词：混合式教学模式;深度学习;高等代数

　　随着精品共享课程、大学慕课等一系列新型网络在线教学模式的兴起，传统的课堂传授形式面临着前所未有的挑战，这迫使各个高校竞相进行一系列的教育教学方法和模式变革[1-2] .如今，国家大力倡导金课、课程思政、一流课程建设，这使教师的教学模式有了更加广阔的选择空间.如何将在线教学资源与线下课堂教育教学深度融合，激发学生的学习兴趣，使学生能在有限的学时内提高课程学习效率，提升其综合应用能力，这是新形势下大学数学教师必须探索的基本问题.本文通过对高等代数的课程特点与教学现状的分析，探究了深度学习下高等代数课程混合式教学模式的构建与实践.

　　1 课程特点与教学现状分析

　　1.1 高等代数的课程特点

　　高等代数是初等代数的抽象与延伸，它既包含了线性代数的基本知识理论，也涵盖了多项式理论等非线性代数成分.它的课程特点主要有：

　　1.1.1 公理化的代数定义在高等代数课程中比较普遍 高等代数课程中存在较多的公理化定义，如多项式被定义为符号或文字 x 的形式表达式 1 1 1 0 n n n n a x a x a x a       ，这种统一的形式定义拓宽了符号 x 的表示范畴，使得它不仅能表示未知数，也能表示其它待定事物;再如线性空间的概念中也是通过共性的研究，抓住线性空间的实质性特征，即 2 个集合、2 种运算、8 条运算规则，给出了线性空间的公理化定义;二次型、线性变换、内积等概念都是利用公理化的方式引导学生发现事物的共性，抽象出代数定义的实质，并通过其中的运算去解释代数的内在结构，这样可以避免拘泥于具体的数学对象和数学问题，自然使得抽象成为代数学的主要特征.正因如此，代数学被理解成为脱离了具体数字，研究一般数学关系的科学.

　　1.1.2 抽象问题的矩阵表示是化简高等代数问题的重要方法 高等代数中大量的内容是围绕线性问题展开的，在同构的意义下这些问题的线性运算又等价于相应的矩阵运算，这表明利用矩阵去研究线性问题具有理论与现实的依据.如线性方程组的矩阵表示极大地简化了其书写与运算的难度;利用线性变换在线性空间某组基下的矩阵、基与基之间的过渡矩阵等，将抽象的变换用具体的矩阵工具表示出来，达到了化抽象为具体的效果;二次型的矩阵表示能够更好地反映出二次型的正定性分类;对于欧氏空间中 2 个向量  , 的内积   , ，可用它们在某组基下的坐标 x y , 与这组基的度量矩阵 A 表示为   ,  x Ay  .

　　1.1.3 复杂的代数结构是高等代数学习的基本对象 代数结构是代数系统的主要研究对象，高等代数研究的代数系统主要是线性空间，有些抽象线性空间的结构与性质研究起来比较困难，在教学中教师可以向学生渗透同构思想，引导学生应用同构思想将抽象空间化为简单直观的向量空间，利用转化思想把线性空间表示成基向量组的生成子空间，进一步可以解释其中的线性运算性质，从而可以清晰地从整体上把握住其中的代数层次结构，分清其代数结构类型.

　　1.1.4 等价分类思想的掌握需要学生较强的理解能力 对各种代数系统的研究对象进行有效分类是代数学研究的基本任务之一，高等代数的大量研究对象都贯穿着等价分类的思想.如矩阵的等价、合同和相似关系都满足反身性、对称性和传递性，这 3 种关系都是等价关系.利用等价分类思想处理代数问题可以为复杂的代数问题理出一条清晰、完整、严密的思路，起到化整为零、化繁为简、化难为易、各个击破、分而治之的作用，但等价分类思想的掌握需要学生具有较强的理解能力.

　　1.2 高等代数的教学现状

　　首先，从教学对象来看，目前高等代数教学主要是面向 2000 年后出生的学生，相比于以前的学生来说，这些学生的市场观念强烈，网络信息丰富，个性思维开阔，导致他们的虚拟沟通能力已远超现实沟通能力. 再加科技的高速发展，人才竞争的加剧，不少学生会因为内心空虚而恐慌，会因浮躁的心情而缺乏团队协作意识，会因承受挫折的能力较弱而对学习不感兴趣.如何提高学生的学习兴趣，这将是教师首先思考的问题.

　　其次，由于高等代数的高度抽象性和思维的多元化，导致部分学生感觉高等代数内容庞杂，知识点分散，基本概念和主要定理难以理解，代数问题的矩阵呈现神秘莫测，学习起来比较吃力.这就要求教师在教学时，不能仅停留在讲清楚基本知识点上，还要理清课本各个内容之间的基本脉络，提炼出隐藏在背后的深层次的数学思想方法，这对学生数学素养的提高无疑是很有意义的[3].

　　最后，高等代数是学习其它后续数学课程的基础，也是数学相关专业研究生入学考试的必考科目之一，但是，在减负的大环境下，大部分高校高等代数的教学课时都十分有限.这就要求教师在教学中，适当地利用网络优质课程，鼓励学生自学数学文化、数学读物、名人访谈，以及部分练习和部分考研试题.引导学生深入理解代数理论的来龙去脉，深入思考代数结构的表示方法，创新教学内容、教学方法和教学流程，提出基于深度学习的混合式教学模式.

　　2 基于深度学习的混合式教学模式的构建及课程设计

　　高等代数具有的高度抽象、推理严密和应用广泛的特点，对学生的抽象能力和逻辑思维能力要求较高，浅层学习的教学模式已经不能适应教学的要求，基于深度学习的线上线下混合式教学模式将在教学的研究与实践中得以普及.

　　2.1 深度学习及其层级

　　深度学习的概念来源于瑞典哥德堡大学教育心理学家马顿(Feren Marton)和萨尔乔(Roger Saljo)的研究.1976 年，他们运用现象描述分析法，将学习者在面向文本阅读任务时的处理方法分为 2 类，一类是试图理解文本，另一类是试图去记忆文本[4] .根据学习者获取与加工信息的方式对学习过程进行了质性描述，秦瑾若[5]等认为试图理解文本是在理解的基础上，学习者能批判性地学习新思想，将它们融入到原有的认知结构中，将众多思想进行联系并迁移到新的情境中，从而做出决策并解决问题的方法，称之深度学习方法;试图去记忆文本是采用再现方式的学习，主要体现在信息无关联的记忆，学习者只是机械、被动地接受知识和孤立地存储信息，而不去关注文本背后的作者意图，这种方法称为浅层学习方法.浅层学习只能发生量变，而深度学习却能引起质变.

　　实践中为了检验不同学习方法下的学习效果，1982 年，约翰·比格斯(John Biggs)与柯利斯通过大量的定性研究，提出一个可观察学习效果结构的 SOLO 层级模型(见表 1).按照约翰·比格斯的观点， 高质量学习效果的达成， 需要关注学习者在学习的过程中是否采用了更加优质的学习方法，是否达成了更加优质的学习效果2个重要因素.1984 年，荷兰学者范·罗苏姆(E.J.van Rossum)对学生的深度学习和学习效果之间的关联情况的研究，论证了学生的学习方法与 SOLO 结果之间存在着强烈的相关性.数据表明，采用深度学习的学生中有 79.4%人获得了关联结构或延伸性抽象的学习效果(SOLO 模型中的高质量学习效果)，而使用浅层学习的学生却无一人获得超过多元结构的学习效果[6] .

　　2.2 深度学习下混合教学模式课程设计中的重要因素

　　崔允漷[7]教授认为单纯的课堂教学最多只能达到 SOLO 分类模型中的第二级，学生难以达到深度学习的高质成效，因此需要采取混合式的教学方式.1999 年，混合式教学在美国被率先提出，这种教学方式主张借助互联网的信息优势，激励教师发挥启发、引导、监控作用，充分挖掘学生学习(学习主体)的主动性、积极性与创造性.国内的《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020 年)》[8] ，强调推进信息技术与高等教学的深度融合，促进教育内容、教学手段和方法的现代化.何克抗[9]指出，混合式学习就是将传统学习的优势和网络学习的优势结合起来，做到优势互补，获得最佳学习效果.混合式教学整合了线上与线下资源，不仅符合政策导向，同时也为深度学习目标落地提供了载体.为实现学习的深度化，需要从4个关键因素去分析混合式教学.

　　2.2.1 网络资源的创建、遴选和优化 基于深度学习的线上线下混合式教学模式中，网络资源的建设、遴选及优化是线上教学的重要环节.首先，教师应为学生提供尽可能丰富的交互式学习平台，学生可以和全国在线的学生、教师和各领域专家互动交流讨论，取长补短，相互学习，其中在网站平台上可划分一些特定板块(如视频学习、作业、测试、讨论等)，允许学生自由上传文本资料、动画图片、相关视频等资源，这些资料可作为后期综合评价学生成绩的标准之一.其次，教师可从众多的网络共享资源中，认真遴选有助于提高学生自主学习兴趣的材料，如所授知识的来龙去脉及其相关人物轶事，激励学生爱国热情，引导学生完成 SOLO 模型中的第一层级学习任务.再次，对教学中的重难点问题的处理上，教师可以考虑录制一些微视频，这不仅能加深学生对知识的感知维度，促使他们全面掌握所授知识点，完成第二层级的学习任务，还能满足每个学生的个性化学习需要。

　　2.2.2 客观教学的主观化转变 在深度学习下混合式教学模式中的线下课堂教学中，为了获得多元结构、关联结构或延伸性抽象的学习层级，寻求深度学习的实现之道，最为关键的过程就是从客观教学走向教学感知.其中的客观教学，实质上是基于教师视角的教学，它强调课程的体系完备性、结构完整性和逻辑连贯性等.然而，基于大学数学视角编排的完备教材体系、严密思维进程和连贯逻辑理论，易导致学生实际学习效果差强人意，此时客观教学的感知构建成为必然.教学感知是指学生所能体验到的客观教学在其心目中的构建物，是学生认知经验与客观教学相互联系、相互作用的产物.相比于客观教学呈现给学生的零碎、孤立的认知结构，学生所感知到的知识体系才是更加有力，亦更有针对性的.为实现从客观教学向教学感知的质的飞跃，教师的教学需要从“提供一种客观的‘如何教’”转变为“关注学生‘主观学’”，即教学的重心不再是教师对所教课程的设计，而是要关注学生如何理解授课教师对课程的设计意图和目的.这就需要教师转变教学角度，从学生学习经验的差异性去分析他们对所授课程的感知力，以学生的眼光来审视自己的课程设计.

　　2.2.3 线下课堂中教师的优质讲授 优质讲授是科学性与艺术性、哲理性与技术性相统一的讲授形式.对于线下授课教师，为提高学习者深度学习的效果，首先，要让自己与其所教的学科融为一体，用知识的力量充分展示自己渊博的学识、良好的修养、真实的情感与健康的人格，彰显出一个教师的完整性、深刻性.其次，应充分发挥优质讲授中的启发力量和人性力量，去唤醒学生内在的潜能和对知识的渴望，并帮助学生重思自我、重塑真我，从而达到深度学习的目标.2009 年，韦伯斯特(Beverley Webster)等运用 CEQ 对香港大学 1 563 名学生进行实验调查，结果发现，线下课堂中优质讲授正向影响着学生对教学内容的感知要素，它不仅显著地正向影响着传统教学模式中的浅层学习，更显著地正向影响着混合式教学中的深度学习[10].

　　2.2.4 合理完善的考核评价体系 教学质量的考核评价主要是为了衡量学生掌握知识的程度和解决实际问题的能力，合理完善的考核评价体系应当以学生为中心，从学习动机、学习态度、学习时间投入、学习能力等主观因素，以及教师的教学水平、学校的学习条件、环境、管理和服务等客观因素去设立标准.由于基于深度学习的混合式教学是以知识为依托，以能力为主线，旨在激活学生的内在综合能力，其教学评价标准是多元的，这意味着教师不仅要对学生所获知识和技能等显性能力进行评价，更要对学习的态度、习惯、方法和能力等隐性因素进行评估.线上线下混合式教学的多平台承载因素也要求教学评价形式应是多元的.为此，合理的考核评价体系可以从学生对学习的投入度、教师对学生的影响度、学校对学生的支持度和学生自身的学习获得度等4个维度去设定.

　　3 深度学习下高等代数课程的混合式教学模式实践

　　科学技术迅猛发展，高等代数的教育教学也面临着巨大的挑战，为了应对这瞬息巨变的世界，提升深度学习下高等代数课程学习效果，对2个数学与应用数学专业班级的高等代数教学进行了教学实践对比，其中 1 班采用混合式教学模式，2 班采用传统教学模式.以北大数学系前代数组所编教材[11]中的线性变换矩阵表示的教学为例，来分析研究混合式教学模式的构建过程.

　　线性变换是线性空间中元素之间存在的一种映射关系，它是线性映射与变换的推广与有机结合，是保持线性空间中元素间的线性关系不变的变换.线性变换与矩阵的混合式教学实践可按6个步骤进行.

　　3.1 学习目标的设计

　　线性变换的矩阵是继线性变换的定义、线性变换的运算后的学习内容，它包含三大块内容，第一板块是线性变换与基，向学生指明线性空间中任意向量在线性变换作用下的像完全取决于该线性变换作用在线性空间的一组基上的像，同时指出n 维空间的一组基和任意 n 个向量都能确定空间的一个线性变换，继而引出线性变换的存在唯一性定理;第二板块是线性变换的矩阵概念、线性变换的运算与矩阵运算的对应关系，以及利用线性变换的矩阵直接计算线性空间中某向量在该线性变换下的像的方法;第三板块是讨论同一线性变换在不同基下的矩阵关系，推出相似矩阵的概念，进而给出相似关系的等价性，同时指出2个相似矩阵也可以看成同一线性变换在不同基下的矩阵.

　　根据线性变换的矩阵学习内容，设计学习目标时可分2个目标层次.一个是浅层目标，它要求学生掌握线性变换的概念、性质及其运算(包括线性变换的加法、数乘、乘法以及可逆变换的逆运算)，掌握线性变换的矩阵表示方法，线性变换的运算与其矩阵运算的关系，理解同一线性变换在不同基下的矩阵关系，掌握矩阵相似的概念与性质.另一个是深层目标，它不仅要求学生完全掌握浅层目标，还应补充 SOLO 分类模形下的第三、四、五级学习层级目标，具体包括：第一，由于线性变换的线性运算的封闭性，作为深度学习来说，学生有必要从线性空间的角度去重审线性变换，启发学生去思考线性变换空间的基、维数和坐标;第二，依托线性变换的矩阵表示，让学生熟练掌握线性变换的矩阵形式书写法，并能通过矩阵的问题去解决抽象的线性变换问题，使学生很好地掌握转化的思想;第三，引导学生利用矩阵的相似关系分析线性变换在不同基下的矩阵形式，并激励学生积极思考线性变换的化简问题，为后一节线性变换的特征值与特征向量的学习埋下伏笔，同时也能使学生学会对问题进行合理的简化和量化，提高建立数学模型的能力;第四，在课程教学结束之后，鼓励学生归纳知识获取的途径，养成集体探讨的习惯，收集并整理线性变换的应用问题，从中合理提出新思想、新方法，激发学生教学感知深处的创新创业意识.

　　3.2 对学习者的预评估

　　由于学生的个体差异以及前期预备的基础知识参差不齐，各种社团活动以及第二课堂等也会占用学生的大量学习时间，这些都会导致教师对学生的预评估难以在线下完成，为此，教师把这一环节通过线上来进行.具体办法是，先在网站上开辟一些特色板块，如作业板块可以公布一些小作业(关于线性变换的判别，线性空间中某一向量在某一具体线性变换下求像，求线性空间的基元的像等)，让学生去思考、去讨论、去练习，然后根据学生完成情况和讨论的活跃情况对学生的学习情况进行预评估，从中了解学生对基本概念、基本运算技能的掌握情况，以及学生学习过程中反映出来的学习偏好等;客观性的测试模块，可以让学生随时随地检验自己的学习情况，做到自己心中有数;投票调查、课程讨论和学生的课后反思都是教师及时了解学生学习情况，方便师生沟通，是教师能够有效地对学生进行预评估的一个重要窗口.

　　3.3 积极学习氛围的营造

　　线上学习平台上的特色板块中的讨论区，已经为学生的学习营造了积极的学习辩论的文化氛围，但作为高等代数这门课程的特点，由于大量的数学符号和数学公式的存在，使得在网络板块上的交流讨论不是十分方便.据每学年对新生的调查发现，每个学生都有腾讯 QQ 号码，而且使用比较频繁，因此教师选择如 QQ 这样的即时通讯平台作为实施深度学习下混合式教学的交流工具，并建立了交流群.这种工具的使用简单方便，不仅能传递文字、表情等信息，还能传送语音、图像以及各种电子文档，这对高等代数的学习十分方便，学生收发讨论题目和答案都可通过图片来传递.有时 QQ 还可作为小型视频会议的工具，但更重要的是利用这样的平台可以提高学生的参与度，培养学生的学习兴趣，激发学习的积极性，增进师生之间的情感交流，营造积极的学习氛围.网络平台能使有限的课堂教学无限扩张、延伸.有了交流群，线上视频或线下课堂中存在的问题都可以在群上讨论.对于讨论时解决不了的问题或作业中存在的典型错误，教师可以在课堂上讲解或者用手机录制微课发到交流群中.网络平台也有利于学生查阅教师上传的电子书籍和文档，群打卡可方便教师掌握学生学习的参与情况等.

　　3.4 课前课后学习的网络平台支撑

　　在对线性变换的矩阵进行课堂讲授之前，教师会通过 QQ 平台给学生布置一些小任务，如通过基于深度学习混合式教学模式建立的网站平台，学生可以通过“自主学习”栏目提供的讲义、视频、教案及练习等进行课前自主预习;还可建议学习小组成员以小组为单位，收集和讨论有关线性变换的矩阵的应用问题等，使学生初步掌握线性变换的定义与运算，了解线性变换的矩阵的概念来源和用途.目的是为了快速高效地激活前面所学的预备知识，为课堂教学打下了坚实的基础，为学生对新的知识的感知提供物质支撑，让他们亲自收集资料能增强学生学习的参与意识，同时还能激发他们探究新问题的意识.

　　与传统的教学模式一样，深度学习下混合式教学模式中，课堂教学也是整个教学任务的关键环节，教师对教学内容的讲解是课堂教学的核心，它决定着学生对事物本质的认识程度、理解水平和实际应用能力.教师对教学内容的优质讲解过程既是知识外化的过程，也是学生接受和理解知识的过程.根据预先设计的教学内容和教学目标，在线性变换的矩阵的讲解时，教师和学生的一切活动，都应围绕着线性变换与基的关系，线性变换的矩阵以及矩阵相似三大重点内容来展开，以保证浅层教学目标的顺利实现.

　　课堂教学后期，教师采用在网络平台上发布在线测试题或课后拓展任务.在线测试题主要是针对本次授课内容的相应概念、性质的理解，以填空或选择题的方式让学生独立完成自己检测和自我评价;线下还会布置基础性的习题，如求一些已知的线性变换在对应的线性空间的特定基下的矩阵;给出空间的一个线性变换，去观察它在不同基下的矩阵的关系，让学生以小组为单位共同讨论，解决问题，从而达到学习效果的提升.

　　3.5 知识目标的深度加工

　　面对线性变换的矩阵内容的深层目标，教师的教学不能停留在以教学大纲为中心，对课本知识进行理论讲解阶段，否则会使大部分学生习惯性地处于被动地接受学习的状态，长期下来会助长学生的依赖心理，扼杀他们的探究创新精神，难以达到深层教学目标.为此，教师必须在学生学习的主观能动性上下功夫，对学生的学习进行深加工.利用多元化教学平台，创设更多更深层次的教学目标，并以此不断地强化学生的数学素养，融入多种数学思想，增强学生的创新意识.

　　3.6 学生学习所获的评价

　　在任何教学过程中，必要的评价和反馈(如教师评价、同伴评价、自我评价等)可以使学生的学习得到不断加工、修正和精细化.深度学习下混合式教学更需要评价反馈的过程，其评价标准和评价都是多元的.

　　4 结语

　　基于深度学习的混合式教学模式使得教学不再只局限于线下课堂讲授，它还要求师生参与线上的教学、练习、测试、讨论和调查，从多方位、多角度去教会学生主动探究未知的东西，培养他们的学习主观能动性.学生在学习中不再机械地记录教师的演讲内容或者重复练习，而是进行同伴协作去解决棘手的问题，让学生学会分析理解这个复杂的世界的能力.

　　1年的对比教学实验结束后，2个平行班采用统一试题进行考核，满分设置为 100 分，结果虽然2个班的最高分在2班，但1班的平均成绩 80.3，明显高于2班的平均成绩 71.5;且1班、2班的及格率分别为 95.3%，82.7%，差距也是十分明显.由此可见，基于深度学习的混合式教学模式是有效可行的.