基于稳定度指标的分布式驱动车辆转向稳定性控制研究

　　【摘要】针对装有轮毂电机的分布式驱动车辆，设计了一种车辆稳定性控制系统，该系统包括上层附加横摆力矩决策和下层转矩分配 2 个层次。基于滑模控制理论设计了上层β-ω联合控制器，并用修正的五参数菱形法划分车辆相平面的稳定域，基于此设计稳定度指标进行失稳判断与控制比例分配，下层基于动态载荷理论分配附加横摆力矩，优化了控制分配效果，在 MATLAB/Simulink 车辆动力学分析环境中进行了仿真分析。结果表明，设计的控制系统可以根据实际工况合理分配控制比例，提高了车辆的转向行驶稳定性，降低了驾驶员的驾驶强度。

　　本文源自张树培; 张生; 张玮; 朱建旭， 汽车技术 发表时间：2021-06-16

　　主题词：稳定性控制 分布式驱动 稳定度指标 相平面 控制分配

　　1 前言

　　在车辆主动安全控制领域，分布式驱动电动汽车因其车轮可独立驱动/制动，且其转矩在一定范围内可分配的特殊性能[1]，具备比传统车辆和集中式电动汽车更加可靠、协调和灵活的优势。

　　为充分利用分布式驱动电动汽车在车辆主动安全控制中的优点，国内外学者展开了深入研究[2-4]。文献[5]和文献[6]分别以横摆角速度和质心侧偏角为反馈变量，协调控制驱动转矩，设计了稳定性控制器。考虑到车辆在转向时会出现缓和及激烈的工况，单一反馈变量的控制器作用的工况是不全面的。文献[7]结合横摆角速度和质心侧偏角设计控制器，并分配力矩，控制效果更好，适应工况更全面。在控制方式上，上层进行附加横摆力矩决策、下层进行转矩分配的分层式控制也更贴合分布式驱动车辆的特点。上层控制器设计的方法主要有 PID 控制[8]、线性二次型调节器(Linear Quadratic Regulator，LQR)控制[9]、滑模控制[10]和H∞鲁棒控制[11]等。下层控制器设计的方法主要有平均分配法[12]、考虑滑移率的分配方法[13]、基于最优控制考虑车辆稳定性的方法[14]、考虑电机的有效性、经济性[15]的方法等。但是对于联合控制器的比例分配问题，以上文献仅基于车辆状态分配控制比例，未与车辆的稳定性指标建立联系，而其对车辆稳定性控制十分重要。文献[16]用质心侧偏角-横摆角速度(β-ω)相平面法依据临界相轨迹流形以及鞍点和拐点的位置划分稳定域。文献[17]~文献[19]基于β- β̇ 相平面表征车辆稳定性，分别用双线法、菱形法和改进五参数菱形法划分稳定区域，其中，修正的五参数菱形法划分的相平面稳定区域封闭性和准确性均优于传统的双线法，适用的工况也更全面。文献[20]用相空间的方法确定车辆稳定域，因其确定平衡点困难，不适合作为控制器的稳定域参考。

　　综合当前的研究，本文采用分层控制框架，基于滑模控制设计上层β-ω联合控制器，采用β- β̇ 相平面，运用五参数菱形法划分其稳定域，构建各工况下的边界参数数据库，基于此提出稳定度指标模型，利用稳定度指标进行车辆稳定性判断和控制比例分配。设计的下层转矩分配模型可以根据车辆的载荷变化分配附加转矩，并通过仿真验证控制比例分配的合理性和控制系统的有效性。

　　2 系统建模

　　2.1 整车7自由度模型

　　在整车建模中，针对车辆的转向稳定性，考虑的自由度包括车辆的纵向运动、侧向运动、横摆运动以及4个车轮的转动，故作如下假设：车辆行驶的路面为平坦路面，忽略车轮的垂向运动;忽略传动轴间的扭振和摆振;简化悬架系统，不考虑车辆的侧倾运动和俯仰运动;车辆前、后轮距相等。建立的整车7自由度模型如图1所示。

　　式中，m为整车质量;vx、vy分别为车辆纵向和侧向速度; ωz为横摆角速度;Fx_ij、Fy_ij分别为各车轮的纵向力和侧向力，ij=fl,fr,rl,rr分别表示左前轮、右前轮、左后轮、右后轮;δl、δr分别为左、右侧车轮转角;Iz为车辆绕z轴的转动惯量;d为轮距;Lf、Lr分别为质心到前、后轴的距离。

　　式中，Iw为车轮的转动惯量;ω̇ w_ij 为各车轮的旋转角加速度;Tij(ij=fl,fr,rl,rr)为各车轮上电机的输出转矩; Fxw_ij(ij=fl,fr,rl,rr)为各车轮受到的纵向力;Rw为车轮的滚动半径。

　　2.2 轮毂电机模型

　　整车使用轮毂电机进行驱动，仿真模型采用电机特性曲线确定电机输出： Tij = a 9 550 P nij (5)式中，a∈[-1,1]为电机的转矩系数，a>0时电机输出驱动转矩，a<0 时电机输出制动转矩;nij(ij=fl,fr,rl,rr)为各轮毂电机的输出转速;P为电机输出功率。

　　2.3 轮胎模型

　　车辆在紧急或危险的工况下转向时，轮胎受力处于非线性状态。因此，本文采用经典的可以描述非线性轮胎力的 Pacejka 魔术公式模型。魔术公式用三角函数的组合公式拟合轮胎试验数据，用一套形式相同的公式即可通过侧偏角 α 或者滑移率λ完整地表达轮胎的纵向力 Fx、侧向力 Fy、回正力矩 Mz以及纵向力、侧向力的联合作用工况。魔术公式一般的表达式为： F = D sin(C arctan(Bx - E(Bx - arctan Bx))) (6)式中，F表示侧向力、纵向力或回正力矩;x表示侧偏角或滑移率;D为峰值因子;C为形状因子;B为刚度因子;E为曲率因子。

　　2.4 2自由度模型

　　7 自由度模型虽然能很好地表征车辆的动力学关系，但是对于车辆转向行驶稳定性的表征能力较差。因此，建立如图2所示的二自由度车辆模型，以表征前轮转角输入、横摆角速度以及质心侧偏角的线性关系。二自由度模型的主要作用是求解稳态下车辆的理想横摆角速度和质心侧偏角，以及求解表征车辆稳定性的相平面轨迹图。

　　车辆的侧向运动为： m( ) v̇ y + vxωz = Fyf cos δf + Fyr (7)车辆的横摆运动为： Izω̇ z = LfFyf cos δf - LrFyr (8)式中，Fyf、Fyr分别为前、后车轮所受侧向力;δf为前轮转角。

　　3 控制系统设计

　　为完成分布式驱动电动车辆的稳定性控制，通过对车身施加附加横摆力矩对横摆角速度或质心侧偏角进行控制。基于滑模控制理论进行上层附加横摆力矩的设计，同时基于相平面理论设计稳定度进行失稳判断与控制比例分配。下层控制器将附加转矩分配到各车轮，通过轮毂电机加以控制。

　　控制系统框架如图3所示，其中δw为转向盘转角输入，μ为路面附着系数。稳定性判定模块基于横摆角速度门限值和设计的稳定度指标判定车辆是否稳定，理想状态模型基于二自由度模型得到稳态下的期望质心侧偏角βexp和期望横摆角速度ωexp。在车辆失稳时，由实际状态参数和期望状态参数得到质心侧偏角误差eβ和横摆角速度误差eω。ΔMβ和ΔMω为β附加横摆力矩和ω附加横摆力矩，二者加权得到加权附加横摆力矩ΔM，Tij为分配到各轮的转矩。

　　3.1 控制系统期望值模型

　　式(7)、式(8)经过推导可以改写成微分运动方程的形式： ì í î ï ï ï ï β̇ = kf + kr mvx β + æ è ç ö ø ÷ Lf kf - Lrkr mv2 x - 1 ωz - kf mvx δf ω̇ = Lf kf - Lrkr Iz β + L2 f kf - L2 r kr Izvz ωz - Lf kf Iz δf (9)式中，kf、kr分别为前、后轴侧偏刚度。该微分运动方程是自变量时间t的函数，当车辆处于理想的稳态转向时，β̇ 和 ω̇ z 均为 0。此时期望的横摆角速度和质心侧偏角为： ì í î ï ï ï ï ω = vx L( ) 1 + Kv2 x δf β = Lr ∕ L + mLfv 2 x ∕ ( ) L2 kr 1 + Kv2 x δf (10)式中，K为车辆的稳定性因数。

　　车辆在实际行驶过程中受到路面附着条件的限制，期望的状态参数存在最大值： ì í î ï ï ï ï ωmax || = 0.85 μg vx βmax || = μg æ è ç ö ø ÷ Lr v 2 x + mLf KrL (11)式中，g=9.8 m/s2 为重力加速度;L为轴距。综上，得到控制系统的期望值为： ì í î ï ï ωexp = min{ } ω, ωmax || sgn( ) δf βexp = min{ } β, βmax || sgn( ) δf (12)

　　3.2 横摆角速度和质心侧偏角滑模控制器设计

　　基于滑模控制理论，利用前文设计的期望参数值以及车辆实际参数值可分别设计横摆角速度控制器和质心侧偏角控制器。为表示方便，将式(9)等号右侧的式子分别记为 X 和 Y，在式(9)的基础上增加附加横摆力矩： ì í î ï ï β̇ = X ω̇ z = Y + Mz Iz (13)

　　3.2.1 横摆角速度控制器设计

　　从控制理论上来说，控制的目的是跟踪误差尽可能小。定义横摆角速度的跟踪误差为： eω = ωz - ωexp (14)进行滑模控制的滑模面设计为： sω = cωeω + ė ω (15)式中，cω>0为横摆角速度误差及其变化率之间的权重系数。为减弱抖振现象对滑模控制器的影响，趋近律选取等速趋近律，其运算量较小且具有较好的实时性与鲁棒性： ṡ ω = Kω sgn( ) sω (16)式中，Kω为该趋近律的常数。将式(13)、式(14)和式(16)带入式(15)中，可得横摆角速度控制器的附加横摆力矩为： ΔMω = ∫-Iz[cωė ω + Y - ω̈exp + Kω sgn( ) sω ]dt (17)

　　3.2.2 质心侧偏角控制器设计

　　考虑到激烈工况下质心侧偏角的偏移，设计质心侧偏角控制器，定义质心侧偏角跟踪误差为： eβ = β - βexp (18)滑模面设计为： sβ = cβ eβ + ė β (19)式中，cβ>0为质心侧偏角误差及其变化率之间的权重系数。趋近律同样选择等速趋近律： ṡ β = Kβ sgn( ) sβ (20)式中，Kβ为该趋近律的常数。将式(13)、式(18)和式(20)代入式(19)，得到质心侧偏角控制器作用下的附加横摆力矩： ΔMβ = -Iz ì í î ï ï ü ý þ ï ï Y + [Kβ sgn( ) sβ + cβ ė β + ( ) Kf + Kr X ∕ mv ] 2 x + β̈ exp [( ) Lf kf - Lrkr ∕ mv ] 2 x - 1 (21)

　　3.3 基于相平面法的车辆失稳判定及控制器比例分配

　　车辆在行驶过程中，纵向速度vx、地面的附着系数μ 和前轮转角δf影响着车辆行驶的稳定。相平面法是在这 3个参数变化的情况下判断系统是否稳定的重要方法。车辆的β- β̇ 相平面可以很好地辨识车辆的非稳态工况。

　　式(22)所示的二阶自治系统是实现相平面的基础：ì í î ż 1 = f1( ) z1,z2 ż 2 = f2( ) z1,z2 (22)由式(22)可得相图轨迹上每一点的斜率： dz2 dz1 = dz2 ∕ dt dz1 ∕ dt = f2( ) z1,z2 f1( ) z1,z2 (23)式中，z1、z2分别为相图的横、纵坐标。

　　式(23)中，两方程不同时等于 0时，给定初始状态值 z0(z1(0),z2(0))，对于任意时间(t t≥0)，状态方程组上的解z(t)=(z1(t),z2(t))是一条始于初始点z0的相轨迹。

　　在时间连续系统中，初始值z0在局部范围内，使相轨迹满足： limt → ∞ z( )t = ze (24)此时系统的总能量衰减，系统处于渐进稳定状态。若外界不产生干预，系统动量逐渐缩减为零，系统静止，收敛的状态点称为平衡点。相平面图中，稳定区域的相轨迹都会收敛到平衡点，不稳定的相轨迹呈发散状态。 ì í î β̇ = f1( ) β,ωz ω̇ z = f2( ) β,ωz (25)将式(7)和式(8)表达成上述二阶自治系统：

　　在给定的纵向速度vx、地面的附着系数μ和前轮转角δf下，为式(25)赋予不同初始值，绘制系统的相轨迹，得到β- β̇ 相平面图。

　　4 所示为 vx=60 km/h、μ=0.8、δf=0 工况下五参数菱形相平面图，菱形区域的 5 个参数值是上、下边界的 β̇ 值，左、右边界的β值，以及平衡点的β值，分别用 β̇ + lim 、β̇ - lim 、β + lim 、β - lim 和 βe 表示。在给定范围工况下选取步长(见表 1)，进行如图 4 所示的仿真，建立较为完备的五参数值查表数据库，得到各工况下稳定域的边界方程。表 2 所示为仿真得到的部分数据库参数值。

　　在β- β̇ 相平面图中，将稳定域内的车辆状态点到稳定域边界的最短距离定义为稳定度Sβ。稳定度可以表征车辆的稳定程度，稳定域边界外的状态点已经处于失稳状态，其稳定度为0。稳定度的计算模型为：

　　式中，Bi = β̇ + Ai β (i=1,2,3,4)为菱形的 4 个边界方程;Ai 为方程的斜率;Bi为方程的常数项。根据车辆的稳定性理论，质心侧偏角较小时，车辆的稳定性主要取决于横摆角速度。借鉴文献[21]中的结果，横摆角速度偏差的失稳临界值U如表3所示。根据 β-Method理论，质心侧偏角较大时，横摆角速度无法有效表征车辆的稳定性，此时质心侧偏角对车辆稳定性的影响占主体地位。因此，根据图5进行汽车失稳判断。

　　在进行稳定性控制时，质心侧偏角较大的情况下，应该增加质心侧偏角控制器的权重，受纵向速度、路面附着系数和前轮转角影响的稳定度可以有效表征这种情况：在菱形边界附近，即稳定度较小时，一种情况是质心侧偏角较大，此时质心侧偏角控制器权重应较大;另一种情况是质心侧偏角较小，但是质心侧偏角速度很大，车辆即将进入质心侧偏角较大状态，此时质心侧偏角控制器权重也应较大。因此，可以利用稳定度合理分配控制器权重P，代入式(27)得到加权横摆力矩ΔM：

　　3.4 下层转矩分配模型设计

　　上层的β-ω联合控制器根据控制目标输出相应的附加横摆力矩，通过转矩分配模型分配到各轮毂电机上以达到稳定性控制的目的。分配策略为：当M过小时，车辆表现为不足转向，此时减小内侧车轮驱动力，必要时可使其变为制动力，并增大外侧车轮驱动力;当M过大时车辆表现为过多转向，此时减小外侧车轮驱动力，必要时可使其变为制动力，并增大内侧车轮驱动力。考虑到车辆的垂向载荷在实际转向过程中会出现转移，各车轮受到的垂向载荷不同：

　　式中，Fz_ij(ij=fl,fr,rl,rr)为各轮受到的垂向载荷;hg为车辆质心高度;ay为车辆的侧向加速度。

　　车轮最大附着力与路面附着系数和垂向载荷有关。为了防止车轮分配过多转矩出现打滑现象，采用动态载荷分配的方式进行设计，即按照车轮的垂向载荷动态变化进行附加横摆力矩的分配：其中，各轮分配的转矩应不超过电机能提供的最大限值，即Tij≤Tmax。

　　4 仿真分析

　　为验证控制器模型分配比例的合理性以及控制效果的有效性，在MATLAB/Simulink 中搭建驾驶员模型、整车模型和控制器模型，进行车辆转向仿真。车辆参数如表4所示。

　　4.1 控制比例分配合理性仿真

　　如图6所示，转向盘转角输入为正弦运动，最大值分别为0.5 rad、1.0 rad、2.0 rad。仿真工况参数如表5所示。

　　如图7和图8所示，车辆在工况1有、无控制器下的横摆角速度与质心侧偏角误差相同且较小，说明车辆行驶状况良好，没有触发控制器。图9所示为其余工况下的控制比例分配曲线。在工况 2 下，P 的最大值约为 0.19，该工况下以横摆角速度失稳为主，ω控制器控制比重较大;工况3下，P的最大值约为0.70，该工况下质心侧偏角较大，β控制器控制比重较大;工况4下，P的最大值约为0.77，由于路面情况较工况3差，导致β控制器的控制比重进一步增大;工况5是最激烈的工况，P的最大值为1且维持了一段时间，说明该工况下有一段时间稳定度计算结果为0，在此时间段内完全由β控制器作用。

　　4种工况的仿真结果表明，本文设计的控制比例分配模型可以根据工况合理分配控制比例。

　　4.2 有效性仿真

　　有效性的仿真在工况2和工况5下进行，包括车辆在无控制器、ω控制器、β控制器和联合控制作用下的下横摆角速度误差和质心侧偏角误差的比较，以及联合控制下的转矩分配情况分析。

　　图10和图11所示为工况2下4种情况的横摆角速度和质心侧偏角误差。其中，联合控制器的控制效果最好，ω控制器与β控制器控制效果相当。将控制器降低误差峰值的能力定义为控制效能，误差峰值控制到0时定义控制效能为100%。图10和图11中联合控制器比单个控制器的控制效能均相应有所提高。图12所示为联合控制器作用下的转矩分配情况，可以看出控制器采取了同侧双车轮驱/制动的控制策略，同时根据载荷变化情况分配转矩，控制的有效性得到了验证。

　　图13和图14所示为工况5下4种情况的横摆角速度和质心侧偏角误差。其中，联合控制器的控制效果最好。由于车辆处于高速大转角的激烈工况，以β失稳为主，β控制器的控制效能较好，ω控制器作用效果有限。图15所示为该联合控制器作用下的转矩分配情况，与工况2相比较，大转矩的作用时间更长，可见在激烈工况下联合控制器也是有效的。

　　5 结束语

　　本文提出了一种基于稳定度指标的分布式驱动车辆转向稳定性控制方法，经过理论分析、模型设计和仿真验证，得到如下结论：

　　a. 基于稳定度指标的分布式驱动车辆转向稳定性控制系统可以根据实际工况判断车辆的稳定性，并合理分配ω控制器和β控制器的控制比例。

　　b. β-ω联合控制器的控制效能较单个控制器更好，在较缓和以及激烈的工况下都能有效追踪理想参数。转矩分配模块也可以根据载荷情况合理分配转矩。设计的控制器整体可以达到转向稳定性控制的目的，且具有较好的鲁棒性。