多策略协同改进的阿基米德优化算法及其应用

　　摘 要：针对阿基米德优化算法(AOA)寻优过程中存在全局搜索能力弱、收敛精度低、易陷入局部最优等缺陷，提出一种融合多策略的阿基米德优化算法(MAOA)。首先，采用随机高斯变异策略，选取适应度优的多个个体引导种群向最优解区域寻优，增强全局搜索能力;其次，利用多种混沌映射的随机性、遍历性和多样性，引入局部混沌搜索策略，扩大混沌空间的搜索范围，提高算法的局部开发能力;同时，为了协调算法的全局勘探和局部开采能力，提出一种非线性动态密度降低因子;最后，利用 Levy 飞行引导机制的黄金正弦策略对种群位置进行扰动更新，增加迭代过程中种群的多样性，提高算法跳出局部最优的能力。通过对 12 个基准测试函数和部分 CEC2014 测试函数进行仿真实验，结果表明所提算法能够改善 AOA 全局探索能力弱、易陷入局部最优等缺点，提高 AOA 的寻优精度和稳定性。另外，引入机械设计案例进行测试分析，进一步验证 MAOA 在处理实际问题上的适用性和可行性。

　　关键词：阿基米德优化算法;随机高斯变异策略;非线性动态密度降低因子;Levy 飞行;黄金正弦;机械设计优化

　　罗仕杭; 何庆 计算机应用研究 2021-12-20

　　0 引言

　　现实生活中的优化问题愈显复杂化，表现出非线性、多约束、高维、不连续等特征。用传统的优化理论和方法很难解决这些复杂的优化问题，而元启发式算法对这类问题却可以获得较好的优化结果。因此，近年来元启发式算法受到众多学者的广泛关注和研究，其在光伏电池和模块的参数识别[1]、多阈值图像分割[2]、路径规划[3]等领域得到广泛应用。受生物群体的社会性质和自然现象规律的启发，研究人员相继提出了 许 多 元 启 发 式 算 法 ， 如 粒 子 群 优 化 (particle swarm optimization，PSO)[4]、黑猩猩优化算法(chimp optimization algorithm，ChOA)[5]、被囊群算法(tunicate swarm algorithm， TSA)[6]、哈里斯鹰算法(Harris hawks optimization，HHO)[7]、均衡优化算法(equilibrium optimization algorithm，EO) [8]、阿基米德优化算法(Archimedes optimization algorithm，AOA)。阿基米德优化算法是 2020 年 Fatma A. Hashim 等人[9]提出的新型元启发式算法，该算法通过模仿完全或部分浸没在流体中的物体发生碰撞时所受浮力的关系，在迭代过程中不断调整个体密度、体积和加速度，从而使个体达到平衡状态，适应度值优的个体引导种群收敛到最优位置，达到寻优的目的。与传统的优化算法相比，元启发式算法具有控制参数少、易于实现、随机性大和适应性强等特点。然而，AOA 同其他元启发式算法相似，存在全局搜索性能差，求解精度低和易陷入局部最优等缺陷。

　　为改善元启发式优化算法全局搜索能力弱，易陷入局部最优等缺陷，许多学者提出改进，例如：He 等[10]将高度破坏性的多项式突变用于 ChOA 种群初始化，在增强种群多样性的基础上为全局搜索奠定基础;韩敏等[11]将混合高斯函数和混沌特性的变异算子引入 PSO 算法，避免算法陷入局部最优;刘成汉等[12]为改善 EO 算法的收敛性能，提出了一种振荡禁忌搜索的自适应均衡优化算法，提高算法的寻优性能。上述文献对元启发式优化算法的改进提高了算法的全局搜索能力，在一定程度上降低算法陷入局部极小值的概率，但仍存在算法寻优精度不足，平衡全局搜索和局部开发能力弱等问题。为此，本文提出多策略协同改进的阿基米德优化算 法(archimedes optimization algorithm improved by multistrategy collaborative，MAOA)，首先，在算法全局搜索阶段，提出随机高斯变异策略，选择多个适应度值优的个体引导种群向最优解附近靠拢，增强算法全局搜索的能力;其次，利用混沌序列具有遍历性、随机性和多样性的特点，引入局部混沌搜索策略，拓宽算法的搜索范围，充分利用已有的信息，使群体在最优区域进行精细搜索;同时，提出非线性动态密度降低因子，使其在算法迭代前中期维持一个相对较大值，以保证 MAOA 的全局寻优性能，随迭代次数增加至后期其值快速减小，使算法在最优解周围进行精确搜索，达到平衡算法全局搜索和局部开发的能力;最后，将 Levy 飞行机制中长短距离和搜索方向的不确定性引入黄金正弦策略中，实现对种群个体位置的扰动，搜索范围以黄金比例缩小，使种群不断接近最优解，同时避免算法陷入局部最优。通过对 12 个基准测试函数、部分 CEC2014 函数以及机械优化案例进行仿真实验，实验结果表明 MAOA 算法不仅具有很强的寻优性能和鲁棒性，而且在实际工程问题中具有适用性和可行性。

　　1 阿基米德优化算法

　　阿基米德优化算法仿生原理为：AOA 的种群个体是浸入流体中的物体，通过调整物体的密度、体积和加速度，来实现种群位置的更新。 AOA 的具体实现步骤如下：根据浸透在液体中的物体是否发生碰撞，AOA 将其分为全局探索和局部搜索阶段。若未发生碰撞，算法进行全局探索阶段;反之，进行局部开发阶段。AOA 通过转移因子 TF 实现算法从全局探索切换到局部开发的过程。

　　1.1 初始阶段在此阶段，AOA 初始化个体的密度(den)、体积(vol)、加速度(acc)，选出当前最优适应度个体(xbest)，最优密度(den)。最优体积(vol)以及最优加速度(acc)。通过式(1)(2)(3)分别更新转移因子 TF、密度降低因子 d 以及密度和体积。 max max exp( ) t t TF t − = (1) 其中 t 表示当前迭代次数，tmax 表示最大迭代次数。 1 max max max exp( ) ( ) t t t t d t t + − = − (2) 1 1 ( ) ( ) t i t i t best i t i t i t best i den den rand den den vol vol rand vol vol + + = +  − = +  − (3) 其中 rand 为(0,1)间随机数。den t i和 dent+1 i 分别为第 i 个个体在第 t 代和第 t+1 代的密度，volt i和 vol t+1 i 为第 i 个个体在第 t 代和第 t+1 代的体积。

　　1.2 全局探索阶段

　　当 TF≤0.5 时，算法进行全局探索阶段，个体的加速度更新数学模型如式(4)所示。 1 1 1 mr mr mr t i t t i i den vol acc acc den vol + + + + + =  (4)其中 acc t+1 i 为第 i 个个体在第 t+1 代的加速度。denmr，volmr， accmr 分别随机选择碰撞个体的密度，体积和加速度。通过式(5)对加速度进行标准化处理，用来更新碰撞个体位置。 1 1 min( ) max( ) min( ) t i t i norm acc acc acc u l acc acc + + − + =  +  (5) 碰撞个体的位置更新数学模型如式(6)所示。 1 1 1 ( ) t t t t x x c rand acc d x x i i i norm rand i + + = +     − − (6) 其中 x t i表示第 i 个个体在第 t 次迭代的位置向量，C1为常数， rand∈(0,1)的一个随机数，xrand 表示第 i 个随机个体在第 t 次迭代的位置向量。 1.3 局部开发阶段当 TF>0.5 时，算法处于局部开发阶段，个体加速度更新数学模型如式(7)所示。 1 1 1 best best best t i t t i i den vol acc acc den vol + + + + + =  (7) 通过式(5)对加速度进行标准化处理，用来更新平衡个体位置，其数学模型如式(8)所示。 1 1 2 ( ) t t t t x x F c rand acc d T x x i best i norm best i + + = +       − − (8) 其中 xbest 表示全局最优个体，C2 为常数，T=C3×TF，C3 为常数。F 是改变个体移动方向的标志，用于决定个体位置更新的方向，定义如下： +1 if 0.5 = 1 if 0.5 p F p  −  (9) 其中 p=2×rand-C4，C4 为常数。

　　2 多策略协同改进的阿基米德优化算法

　　在全局开发阶段，AOA 仅依靠一个随机个体带领种群向最优区域寻找最优解，当随机个体是一个较差的解时，会导致算法寻优精度低，同时，在局部开发阶段，种群围绕最优个体进行位置更新，当最优个体陷入局部极值空间时，种群随之陷入局部最优，导致算法出现停滞搜索现象;最后，根据式(1)可知，当 TF 的取值范围为(0.36,0.5)，AOA 进行全局搜索，当 TF 的取值范围为(0.5,1)，AOA 进行局部开发，这使得算法全局搜索阶段过短，未能搜索更广阔的区域，可能丢失更优的解。综上所述，本文针对上述 AOA 原理的缺陷，引入对应的策略进行改进。具体策略介绍如下：

　　2.1 随机高斯变异策略

　　标准 AOA 在全局搜索阶段仅依靠种群中某个随机个体的引导进行种群位置更新，然而随机个体可能是一个较差的解，导致算法的全局寻优能力较弱。因此，为提高 AOA 的全局搜索能力，本文提出随机高斯变异策略。在随机策略中，个体根据其适应度值进行排序，然后从种群中选取排名靠前的 k 个个体引导种群向全局最优区域靠拢。对当前最优个体引入高斯变异，有效地利用当前全局最优个体的位置信息，保证产生的新个体之间进行充分的信息交流，随机高斯变异策略的数学模型如式(10)所示。 mutation (0,1) / k i best i i X X N k  =  =  (10) 其中：N(0,1)表示期望为 0，标准差为 1 的正态分布随机数， Xmutation 为变异后的新个体位置。由高斯分布特点可知，随机高斯变异策略的重点搜索区域为最优个体附近的区域，有利于算法快速找到全局极小值，增强算法全局搜索最优值的能力。

　　2.2 局部混沌搜索策略

　　在优化领域，混沌映射不断迭代产生混沌序列，实现对混沌空间的遍历搜索[13]。局部混沌搜索充分利用混沌映射具有遍历性、随机性、不可预测性等特性，在局部开发阶段对个体嵌入不同的混沌映射序列，不仅扩大了混沌搜索空间，增加个体信息的多样性，而且在一定程度上协助算法跳出局部极值空间，从而提高算法的寻优精度。不同的混沌映射产生的混沌序列是完全不同的，由于混沌序列的不重复性和遍历性，使用混合多种混沌映射的搜索范围和搜索精度都优于单一的混沌映射。通过研究多种混沌映射所产生的混沌序列分布情况，本文选取 6 个典型的具有独特分布特性的混沌映射，其数学模型如下所示。 (1)Chebyshev 映射： 1 1 cos( cos ) t t z z  − + = (11) 其中 zt 是第 t 个混沌值，zt(0,1)，=5，z0=0.7。 (2)Sin 映射：Sin 混沌映射是以正弦函数为基础的混沌映射，其数学模型如式(12)所示。 1 sin( ) 4 t t a z pi z + =  (12) 其中 a=4，z0=0.7。 (3)Logical 映射：logical 映射作为研究复杂动力系统的经典模型，其数学模型如式(13)所示。 1 (1 ) t k t z z z + =  −  (13) 其中 μ=4，z0=0.7。 (4)Singer 映射： 2 3 4 1 (7.86 23.31 28.85 13.302875 ) t t t t t z z z z z + =  − + −  (14) 其中 μ=1.073，z0=0.7。 (5)Circle 映射： 1 sin(2 ) mod(1) 2 t t t b z z a pi z pi + = + −    (15) 其中 a=0.5，b=2.2，z0=0.7。 (6)Tent 映射：Tent 映射广泛运用在混沌加密系统，其数学模型如式(16)所示。 1 / 0 = 1 ) / (1 ) 1 t t t t t z z z z z    +     − −   (16) 其中 β=0.4，z0=0.7。假设搜索空间为二维，上下界分别为 0 和 1，图 1 显示了不同混沌映射迭代 100 次后的波形图。

　　本文选取 6 个混沌映射，设计了一种混合多种混沌映射的搜索策略，有助于算法专注于在已探索的区域寻找到更好的解决方案，增强种群间的信息交流，保持算法的多样性。为了将多种混沌映射引入算法的局部开发阶段，本文假设有 50%的概率正常更新局部个体位置或在混沌映射之间进行选择，达到在优化过程中更新个体位置的目的。局部混沌搜索策略的数学模型如式(17)所示。 1 1 2 1 if 0.5 = ( ) _ if 0.5 t t t i best i norm t t new best i x x F c rand acc X d T x x Chaotic value  + + − +  = +         −   (17) 其中 θ 为(0,1)的随机数。

　　2.3 非线性动态密度降低因子

　　标准 AOA 的密度降低因子 d 是协调全局勘探和局部开采的关键，由式(2)可知，d 是随迭代次数非线性递减到 0 的，在迭代前期，当前最优解与全局最优解相距较远时，下降较快且值较小的 d 不利于实现算法在解空间内覆盖性的搜索，在迭代后期，d 值下降过慢会导致算法局部开采能力受限，限制算法搜索能力。为解决此问题，本文受正弦函数思想的启发，重构密度降低因子，其数学模型如下： 1 2 max ( ) sin( (( ) ) t first first final pi t d d d d  t + = − −   (18) 其中 dfirst表示迭代开始时 d 的起始值，即当 t=0 时，dfirst=2.7; dfianl 表示迭代结束时 d 的终止值，即当 t=0 时，dfianl=0.01。控制曲线的平滑程度，经多次实验验证，当=1.8 时，实验结果最优。由式(18)可知，在迭代前中期全局搜索时，d 值较大且非线性递减较慢，算法不断搜索未知区域，具备较强的探索能力。在迭代后期 d 值较小且非线性递减趋势逐渐增大，算法的开发性能逐步增强并尽可能在最优解周围进行精确搜索，以平衡算法全局搜索和局部开发能力。

　　2.4 Levy 飞行机制引导的黄金正弦策略

　　在标准 AOA 中，当 TF>0.5 时，算法进行局部开发，种群中其他个体通过当前最优个体的引导向最优解靠近，如果当前最优个体找到更好的解，整个种群会涌入最优个体附近，导致种群密度过高，种群的多样性减少，从而使算法陷入局部极值空间。为解决这一问题，本文采用 Levy 飞行机制引导的黄金正弦策略。黄金正弦算法是 Tanyildizi 等人[14]所提出的元启发式算法,具有寻优精度高，鲁棒性好的特点，其通过正弦函数与单位圆的关系，使得种群遍历单位圆上的所有点，即正弦函数上的所有点，以黄金比例缩小算法的搜索区域。同时引入 Levy 飞行引导机制，利用 Levy 飞行方向和步长的不确定性对种群位置进行扰动，提高算法的多样性，降低算法陷入局部最优的概率。Levy 飞行的数学模型如下所示。 1/ 2 1 1 ( ) 2 2 ( ) ~ (0, ), ~ (0, ), 1 ( (1 ) sin( ) 2 1 ( ) ) 2 2 Levy N N pi       −  =  =  =  +  +   (19) 其中是一个常数，决定 Levy 概率密度函数的形状，本文取=1.5。 Levy 飞行机制引导的黄金正弦策略更新个体位置的数学模型如式(20)所示。 1 novel 1 2 1 1 2 sin( ) ( ) sin( ) t i t t X X R levy R R x X x X i best i  + =  +     −  (20) 1 2 (1 ) 2 2 5 2 / 2 x pi pi x pi pi  = − + −  = − +  = − (21) 其中 R1 和 R2 为[0,2]、[0,]的随机数，决定下一次迭代中个体的移动距离和方向;x1 和 x2 是黄金分割系数，为黄金分割数，这些系数在每一次迭代中帮助算法引领个体逐步趋近最优值，提高算法的收敛精度和速度。

　　虽然用 Levy 飞行机制引导的黄金正弦策略能够提高算法的搜索精度，帮助算法跳出局部最优，但是无法直接判断产生的新个体位置是否优于原始个体位置。因此，采用贪婪策略比较新旧个体适应度值，再决定是否更新个体位置，通过这种方式不断获取更优解，从而提升算法的寻优性能。贪婪策略的数学模型如式(22)所示。 1 1 1 1 +1 1 +1 ( ) ( ) ( ) ( ) t t t novel i novel t updata t t t i i novel X f X f X X X f X f X + + + + +   =   (22)

　　2.5 MAOA 算法实现步骤

　　综上改进策略，MAOA 执行步骤如下： MAOA 算法伪代码：设置算法相关参数：种群规模 N、空间维度 dim、种群的搜索边界 [ub,lb]、最大迭代次数 tmax. while (t

　　2.6 MAOA 时间复杂度分析

　　MAOA 的时间复杂度主要由随机高斯变异策略、局部混沌搜索策略、非线性动态密度降低因子和 Levy 飞行机制引导的黄金正弦策略组成。设 AOA 的种群规模为 N，搜索空间维度为 d，最大迭代次数为 T，则标准 AOA 的时间复杂度为 O(NdT)。 MAOA 是由标准 AOA 改进而来的，首先计算随机高斯变异策略时间复杂度，因为个体根据其适应度值排序和选取排名靠前的 k 个个体所需时间为 t1，所以随机高斯变异策的时间复杂度为 O(NdT+t1)=O(NdT);其次，设选取 6 个不同的混沌映射所需时间为 t2，每一维按照式(17)更新个体位置所需时间为 t3，则引入局部混沌搜索策略的时间复杂度为 O(NdTt3+t2)=O(NdT);再次，设计算非线性动态密度降低因子所需时间为 t4，此阶段的时间复杂度为 O(NdT+t4)= O(NdT);最后，每一维按照式(20)更新个体位置所需时间为 t5，利用贪婪机制比较新旧个体适应度所需时间为 t6，保留最优位置时间为 t7，则 Levy 飞行引导机制的黄金正弦策略所需时间为 O(NdT(t5+t6)+t7)=O(NdT)。综上分析可得， MAOA 的时间复杂度为 O(NdT)+O(NdT)+O(NdT)+ O(NdT)= O(NdT)。综上所述，MAOA 的时间复杂度与 AOA 时间复杂度一致，本文针对标准 AOA 的缺陷所提改进策略并没有增加计算负担。

　　3 仿真实验与结果分析 3.1 实验设计和参数设置

　　仿真实验环境设置为 64 位 Windows 10 操作系统，CPU 为 Intel(R) Core(TM) i5-7500，主频为 3.4GHz，内存为 8GB，编程软件为 MATLAB R2021a。本文挑选 12 个具有不同特征的基准测试函数进行仿真实验，其中 7 个单峰函数为 f1~f7，5 个多峰函数为 f8~f12，具体取值范围和理论最优值等信息如表 1 所示。本文选取最新的元启发式算法—黑猩猩优化算法(ChOA)、均衡优化算法 (EO)、被囊群算法(TSA)、哈里斯鹰(HHO)以及最新改进的均衡优化算法(CfOEO)和改进蝴蝶算法(LBOA)[15]进行比较，它们的参数设置如表 2 所示。

　　3.2 不同改进策略对算法性能影响分析

　　为充分验证本文所提 MAOA 改进策略的有效性，将标准 AOA 与本文加入随机高斯变异策略的算法(RAOA)、加入局部混沌搜索策略的算法(CAOA)、加入非线性动态密度降低因子的算法(DAOA)和加入 Levy 引导机制的黄金正弦策略的算法(GAOA)在 12 个具有不同寻优特征的基准测试函数上进行仿真实验。算法参数统一设置为：种群规模 N=30，搜索空间维度 dim=30，最大迭代次数 tmax=500。通过最优值、最差值、平均值和标准差四个评价指标来评估各算法的寻优性能，仿真实验结果如表 3 所示。表 3 通过最优值和平均值来反映算法的寻优性能，通过标准差来反映算法的稳定性。首先，MAOA 单峰函数寻优时，六个函数 f1~f4、f6 和 f7 的四个评价指标均达到理论最优值，而对于函数 f5，其形状类似于抛物面，存在大量局部最优值， MAOA 搜索陷入局部极值空间，其他改进算法也均出现寻优停滞，但是 MAOA 相较于其他改进算法具有更高的收敛精度和稳定性。其次，MAOA 求解多峰函数时，对于函数 f8、 f10~f12 均可以寻到理论最优值，且标准差求解结果稳定，而函数 f9 是具有山谷状的多峰函数，其全局最优值位于山低端比较难寻，所以 MAOA 与其他改进算法求解 f9 时均为寻到最优，但是 MAOA 无论是在搜索精度上还是在稳定性上均表现出一定的优势。具体来说，RAOA、CAOA 和 GAOA 求解函数 f1~f4、 f6~f8、f10~f12 有显著的效果，这是因为随机高斯变异策略带领种群向最优解附近靠拢，增强算法全局搜索的能力;局部混沌搜索策略扩大算法的局部搜索空间，协助种群在最优解区域进行精细搜索;非线性动态密度降低因子加强协调算法的全局探索和局部开发能力;Levy 飞行机制引导的黄金正弦策略缩小最佳搜索区域，加快算法收敛速度，并对种群位置进行扰动更新，增强算法跳出局部最优的能力。DAOA 对函数的寻优结果是 4 种改进策略中效果最差的，但其搜索精度和稳定性相较于标准 AOA 也有明显的提升，尤其是求解函数 f1、f6、f10 和 f12 时。对于函数 f7，DAOA 的平均值劣于 AOA，但差异稳定在一个数量及内，在可以接受的范围。

　　3.3 MAOA 收敛性分析

　　为了反映SLWChOA的动态收敛特性，在搜索维度为30，独立运行 30 次的条件下，纵坐标取以 10 为底的对数，采用平均收敛曲线图描述算法的收敛性。图 2(a)~(l)给出了 12 个基准测试函数的平均收敛曲线图。由图 2 可知，在单峰函数和多峰函数上，在相同的迭代次数下 MAOA 具有更高的求解精度、寻优效率和更快的收敛速度，表明 MAOA 在保证开拓能力的同时也能充分保证搜索能力，不失种群多样性和寻优稳定性。对于函数 f5 和 f8，虽然 MAOA 与其他改进算法一样，陷入局部最优难以跳出，但 MAOA 的平均收敛曲线均位于 5 种改进算法平均收敛曲线下方，且达到理论精度所需的迭代次数最少。综合表 3 的仿真实验结果和图 2 的平均收敛曲线图，可以得出本文所提 MAOA 的有效性，虽然在函数 f5 和 f9 上 6 种算法的搜索精度差距不显著，但总体来看，MAOA 拥有更强的综合寻优能力。

　　3.4 与其他最新元启发式算法对比分析

　　为验证 MAOA 的优越性和鲁棒性，本文将 MAOA 与黑猩猩优化算法(ChOA)[5]、被囊群算法(TSA)[6]、哈里斯鹰优化算法(HHO)[7]、均衡优化算法(EO)[8]、以及最新改进的均衡优化算法(CfOEO)[12]、改进蝴蝶算法(LBOA)[15]进行比较，其中 LBOA 的实验数据来源于文献[16]，并复现文献[12]的实验，采用与所选文献相同的实验参数设置(种群规模 30，最大迭代次数 500)，对于每个基准测试函数的搜索维度分别设置为 30/100/500，独立运行 30 次，记录其平均值和标准差，结果如表 4 所示(“—”为缺失数据)。由表 4 可知，对于所选的基准测试函数，无论是单峰函数还是多峰函数，MAOA 的寻优稳定性和求解精度是 6 种算法中最好的。对于函数 f1~f4、f6~f7 和 f11~f12，5 种对比算法求解精度低或无法求解时，MAOA 与 CfOEO 算法求解效果达到100%，可以寻到理论最优值。当求解函数 f5时，尽管 MAOA 同其他算法一样陷入局部最优，但是其寻优精度优于其他 5 种对比算法。当维度从 30 维上升到 100 维再上升到 500 维时，算法对求解精度和鲁棒性均有不同程度下降，这是因为随着维度的增加，算法搜索空间增大，其难度也呈指数增加，寻优过程需要更多计算，但是相较于 5 种对比算法，MAOA 寻优精度仍最高。因此，MAOA 在求解低维和高维问题时，优势明显，搜索能力强，稳定性好，寻优精度高，进一步说明了 MAOA 在解决现实生活中复杂的优化问题时具有显著的竞争优势。

　　3.5 MAOA 求解 CEC2014 测试函数问题

　　为了更进一步验证 MAOA 处理具有复杂特征的问题时的有效性和稳定性，本文选取部分具有复杂特征的 CEC2014 测试函数进行优化求解，所选取的函数类型包括单峰、多峰、混合、复合，其详细信息如表 5 所示。本文选用 MAOA 与 AOA、ChOA、TSA、HHO 算法、EO 算法、CfOEO 算法来优化 8 个 CEC2014 测试函数。为了保证实验的公平性，设置空间维度为 30，最大迭代次数为 1000，每个算法分别独立运行 30 次，结果如表 6 所示。由表 6 可知，EO 算法在单峰函数 CEC03 上表现最好，而 MAOA 寻优精度低于标准 AOA，这是因为局部混沌搜索策略在多种混沌映射上需要进行更多的计算，造成收敛精度有所下降。对于多峰函数 CEC05、CEC12，MAOA 寻优性能排名第一，同时在 CEC16 上，ChOA、HHO 算法、EO 算法和 MAOA 算法寻优精度并列第一。对于混合函数 CEC19， MAOA 求解精度更加接近理论最优值。在复合函数 CEC23、 CEC27 和 CEC28 上，MAOA 的标准差为 0，说明其对于复合特征函数寻优稳定性强。上述 CEC2014 测试函数寻优结果分析表明，MAOA 在求解具有复杂特征的函数上同样具有很大优势，进一步表明 MAOA 融合随机高斯变异策略、局部混沌搜索策略、非线性动态密度降低因子和 Levy 飞行引导机制的黄金正弦策略的有效性和可行性。

　　4 基于 MAOA 的机械设计优化

　　优化问题作为工程设计与应用领域中经常出现的数值约束问题，传统的机械方法如梯度法，不仅求解效率低，容易陷入局部极值，而且难以解决非线性甚至高维的数值优化问题。区别于传统方法，本文试图将所提的新型元启发式优化算法 MAOA 用于求解机械设计问题，进一步验证所提算法的适用性和可行性。

　　4.1 机械优化设计问题的数学模型

　　机械优化问题与数学模型有着紧密的联系。构造优化设计数学模型的关键是找到设计变量、目标函数以及约束条件。该问题的数学模型一般可以描述为如下约束优化问题[17]: min max u Minimize ( ) ( ) 0, ,2 , Subject to ( ) 0, 1,2 , , 1,2 , 1 v i f x g x u m h x v p x x x i n   =   = =    =  (23) 其中：x 为设计变量，x=x1，x2，x3…xnf(x)为目标函数，gu 表示第 u 个不等式约束，hv 表示第 v 个等式约束，xmin 和 xmax 分别表示设计变量的上下界。

　　4.2 机械优化设计仿真实验参数设置

　　本文利用 MAOA 优化 2 个机械设计问题，它们分别为拉伸/压缩弹簧设计问题和焊接梁设计问题。仿真实验将 MAOA 与 AOA、引力搜索算法(GSA) [18]、粒子群算法(PSO)、生物地理学优化算法(BBO) [19]、差分进化算法(DE) [20]、蚁群优化算法(ACO) [21]、樽海鞘群算法(SSA) [22]、鲸鱼优化算法 (WOA) [23]、帝王企鹅优化算法(EPO)[24]、斑鬣狗优化算法 (SHO)[25]、灰狼优化算法(GWO)[26]、多元宇宙优化算法 (MVO)[27]、ChOA、TSA、HHO 算法进行实验比较。为了保证对比实验的公平性，与选取文献测试条件一致，设置种群大小为 50，最大迭代次数为 1000，每个算法独立运行 30 次后取平均值

　　4.3 拉伸/压缩弹簧优化设计案例

　　如图 3 所示，拉伸/压缩弹簧设计问题的优化目标是降低弹簧的重量。约束条件包括受到最小偏差(g1)、剪切应力(g2)、冲击频率(g3)、外径限制(g4)以及决策变量包括线径 d、平均线圈直径 D 及有效线圈数 P，f(x)为最小化弹簧的重量。拉伸 /压缩弹簧设计的数学模型描述为设 x=[x1 x2 x3]=[d D N] ( ) ( ) 2 1 2 3 3 2 3 1 4 1 2 2 1 2 2 3 4 2 1 1 1 1 3 2 2 3 1 2 4 1 2 2 3 ( ) 2 ( ) 1 0 71785 4 1 ( ) 1 0 12566 5108 140.45 ( ) 1 0 ( ) 1 0 1.5 0.05 2.0,0.25 1.3,2.0 15.0

　　由表 7 可知，MAOA 可以取得优于或接近于其他对比算法的弹簧重量，可以合理地认为 MAOA 在优化拉伸/压缩弹簧机械设计问题上是适用的。

　　4.4 焊接梁设计案例

　　焊接梁设计是在 4 个决策变量和 7 个约束条件下，以最小化焊接梁的总费用为优化目标。决策变量分别为焊缝厚度 (h)、钢筋连接长度(l)、钢筋高度(t)和钢筋厚度(b)，其结构优化设计示意如图 4 所示。

　　其中：τ 为剪切应力、σ 为横梁弯曲应、Pc 为屈曲载荷、δ 为横梁挠度，f(x)为最小化设计费用。表 8 是 MAOA 与其他算法获得最小化设计费用的比较结果。根据表 8 给出的 MAOA 与其他算法优化焊接梁机械设计的结果， MAOA 获 得 的 函 数 最 优 解 为 [x1,x2,x3]= [0.2014,3.2524,9.0357,0.2058,1.6964]，最优值 f(x)=1.6964，表明 MAOA 能获得最小化焊机梁设计费用，其有效性优于其他对比算法。

　　4.5 机械设计优化案例小结

　　通过拉伸/压缩弹簧设计和焊接梁设计的案例验证，所提 MAOA 可以获得优于其他对比算法的实验结果，进一步验证 MAOA 在实际工程应用问题中的有效性和适用性。

　　5 结束语

　　为改善标准 AOA 的缺陷，本文提出多策略协同改进策略的阿基米德优化算法(MAOA)。首先，利用随机高斯变异策略提高算法在全局探索阶段的搜索效率;其次，对种群在局部阶段聚集程度进行分析，引入局部混沌搜索策略，扩大算法搜索空间，有助于算法在已探索的区域寻找到更优解;同时，对标准 AOA 的密度降低因子进行分析，在此基础上提出非线性动态密度降低因子，弥补算法平衡全局勘探和局部开采能力的不足;最后，采用 levy 飞行引导机制的黄金正弦策略，对种群位置进行扰动更新，不仅增加群体位置的多样性，而且增强算法跳出局部最优的能力。

　　第 1 组不同策略在基准测试函数上的仿真实验表明，与标准 AOA 相比，所提 4 个改进策略均达到很好的效果，融合 4 个改进策略后的 MAOA 在收敛精度和速度上均有显著的优势。

　　第 2 组与最新的元启发式算法在不同维度上进行基准测试函数仿真实验，实验结果表明 MAOA 具有明显的寻优优势，同时在处理高维问题上保持较好的寻优性能和鲁棒性。

　　第 3 组是基于部分 CEC2014 复杂特征函数的测试，与 6 种最新的元启发式算法相比，MAOA 具有较强的竞争力。

　　第 4 组实验通过优化两个机械设计案例，验证了 MAOA 在实际问题中的适用性和可行性，为解决复杂的工程约束问题提供了一条新途径。

　　下一步的研究方向是把改进算法运用到多阈值图像分割和神经网络优化等领域。