基于R-L 分数阶导数的动态J-A 磁滞模型及其特征参数辨识算法

　　摘要：在高频、直流偏磁等非标准磁化条件下，电力变压器的铁心损耗显著增加，造成其性能恶化。为了实现对高频、直流偏磁下铁磁材料动态磁滞特性与损耗的准确模拟，本文首先在静态 J-A 模型中引入直流磁密，推导得到适用于描述直流偏磁条件下铁磁材料磁滞特性的静态 J-A 修正模型;然后引入 R-L 型分数阶导数对高频条件下涡流场及涡流损耗表达式进行改进，考虑涡流与剩余损耗对高频条件下磁化物理机制的影响，建立动态 J-A 模型;最后引入模拟退火算法，以损耗计算值与实测值之间的均方根误差最小化作为优化算法的目标函数，辨识模型中阻尼系数与分数阶导数阶次的全局最优值。将动态 J-A 模型模拟的磁滞回线和损耗与实验数据进行对比，结果表明：对高频磁场叠加直流偏磁条件下磁滞回线面积模拟误差为 7.84%，损耗预测的平均绝对误差为 7.35%，验证了本文所提方法的准确性。

　　关键词：铁磁材料;直流偏磁;高频磁化;动态 J-A 磁滞模型;分数阶导数

　　陈彬; 秦小彬; 唐波; 刘任; 张建功; 万妮娜， 中国电机工程学报 发表时间：2021-10-29

　　0 引言

　　随着大量非线性负荷接入电网，电力变压器更加频繁地工作在高频、直流偏磁等工况下[1-2]。电工钢等铁磁材料被广泛应用于电力变压器铁心。在直流偏磁条件下，铁磁材料呈现复杂的非线性、非对称磁滞特性，并且随着频率的增加，其损耗增大，导致电力变压器散热性能、效率降低，甚至发生损坏[3-4]。因此，精确模拟高频、直流偏磁条件下铁磁材料的磁滞效应和损耗特性，对于电力变压器结构优化设计具有重要意义[5]。

　　目前，国内外学者针对直流偏磁下铁磁材料的磁滞效应和损耗特性开展了大量研究工作。文献[6] 通过对铁氧体在直流偏磁条件下的损耗进行分析，将 Steinmetz 公式中的经验系数修正为关于直流磁通与交流磁通的函数，实现了直流偏磁下损耗计算。张艳丽等人在 Steinmetz 公式中引入可变系数，通过该系数来描述直流偏磁对损耗的影响，进而预测直流偏磁条件下的损耗[7]。上述研究均为经验公式法在直流偏磁条件下铁心损耗预测中的具体应用，此类模型本质上属于现象学模型，经验系数的获取依赖于对大量实验数据的拟合，模型本身无法描述铁磁材料的磁滞效应。

　　基于物理现象的磁滞模型法可以将材料微观物理量和外界磁场激励下的宏观磁化现象关联起来，得到宏观场量的控制方程。当前应用较为广泛的磁滞模型包括 Preisach 模型、Energetic 模型、 Jiles-Atherton(J-A)模型等。文献[8]基于 Preisach 模型，以及取向硅钢片静态直流偏磁极限磁滞回线实测数据，采用数值方法生成具有非对称特性的一阶回转曲线，考虑直流偏磁磁场和交流磁通密度对剩余损耗的影响，构建直流偏磁条件下动态 Preisach 模型，实现了直流偏磁下硅钢片损耗特性模拟。但是，Preisach 模型忽略了铁磁材料微观物理规律，而且模型参数的识别较复杂且计算耗时。文献 [9-10]基于损耗统计理论与场分离理论，将涡流损耗和剩余损耗与静态 Energetic 磁滞模型相结合得到以磁通密度 B 为输入，磁场强度 H 为输出的动态 Energetic 模型，用于描述不同交流频率、直流偏磁条件下铁磁材料的磁滞回线与铁心损耗。然而上述研究并未考虑直流分量对磁化过程的影响，进而从磁化物理基础出发推导获得直流偏磁条件下 Energetic 磁滞修正模型。基于未修正 Energetic 磁滞模型模拟动态直流偏磁磁滞特性方法的普遍适用性还需要通过大量研究及实验得到验证。清华大学曹林等从经典 J-A 磁滞理论出发，以能量平衡原理为依据，考虑了铁心的涡流损耗和剩余损耗，研究了直流偏磁条件下电力变压器铁心的动态磁滞特性[11]。

　　近年来，有学者将分数阶微积分理论应用于动态磁滞建模，比如 2017 年 B. Ducharne 等人将分数阶导数引入铁磁材料的涡流场计算中，实现了铁磁材料在高频条件下动态磁滞回线的精确模拟[12]; 2018 年 B. Zhan 等人分别将 J-A 磁滞模型、Preisach 模型与分数阶导数结合，用于铁磁材料的动态磁滞回线模拟与损耗计算[13-14];2020 年 R. Liu 等人基于分数阶导数实现对损耗分离理论框架下涡流损耗项的改进，并与静态 Energetic 模型结合实现了对硅钢材料高频损耗的精确预测[15]。然而，上述分数阶微积分理论的应用仅局限于正弦激励下铁磁材料的磁滞模型的修正，其在直流偏磁工况下的有效性还有待商榷;此外，分数阶导数的参数辨识方法(阶数 n 与阻尼系数 ρ)是根据低频和高频条件下的磁滞回线数据通过试凑得到，得到的参数值并不能保证为全局最优值。

　　针对上述存在问题，本文在静态 J-A 模型基础上，引入直流磁密分量，推导得到直流偏磁下静态 J-A 磁滞修正模型。进一步通过引入 R-L 分数阶导数实现对传统涡流场与涡流损耗表达式的改进。基于损耗分离理论并结合静态 J-A 磁滞修正模型与改进涡流场、涡流损耗表达式，建立了直流偏磁和高频条件下改进动态 J-A 模型与损耗计算表达式。搭建磁性能测试系统获得不同频率、直流偏磁下电工钢磁特性与损耗特性数据，基于实测数据，并引入模拟退火算法实现对特征参数(分数阶导数阶数 n 与阻尼系数 ρ)的辨识。最后通过与实验数据及传统 J-A 模型建模方法的对比，验证了本文所提模型的正确性。

　　1 传统 J-A 磁滞建模理论

　　1.1 静态 J-A 磁滞模型

　　静态 J-A 磁滞模型以磁畴理论为基础，通过考虑磁畴壁位移与取代以及能量平衡原理来描述磁化强度和磁场强度之间的关系[16]。铁磁材料的无磁滞磁化特性可以由 Langevin 函数进行表征：? ? an s e e M M H a a H ? ? ? ? coth ? ? (1) 式中：Man 为无磁滞磁化强度;Ms 为饱和磁化强度; a 为无磁滞磁化曲线形状参数;He为有效磁场强度，其表达式为： H H M e sat ? ?? (2) 式中：H 为外加磁场强度;?为磁畴内部耦合平均场参数;Msat 为静态条件下磁化强度，可分解为可逆磁化强度 Mrev 与不可逆磁化强度 Mirr，即： M M M sat rev irr ? ? (3) 其中，Mrev 与磁化过程中磁畴壁弯曲相关，Mirr 与磁畴壁位移和取代相关，其关于有效场 He 的微分方程表示为： irr an irr e d ( ) d M M M M H k ???? (4) 式中： M ?为防止非物理解的出现而定义的方向系数，如式(5)所示;k 为牵制系数;?为方向系数，当 d d 0 H t ?时，? ?1 ;反之，? ??1。

　　考虑到磁通密度相对于磁场强度变化较为缓慢，不易发生畸变，将 e 0 d d =1 ( 1)d d H B M B ? ? ? ?代入式(7)，推导以磁通密度 B 为输入量，磁场强度为 H 为输出的逆静态 J-A 磁滞模型的磁化强度微分方程[17]： M sat an 0 M an sat e d ( ) d d d d (1 )( ( ) ) d an an sat e M M M ck M H B M M M ck k H ? ?? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ? ?? ? (8)

　　1.2 动态 J-A 磁滞模型

　　根据损耗分离理论，铁磁材料的总损耗 W 可分解为磁滞损耗Whys、涡流损耗Wed与剩余损耗Wex [18]： W W W W ? ? ? hys ed ex (9) 低频条件下，集肤效应可忽略，沿叠片厚度方向的磁场强度均匀分布，此时涡流损耗的表达式为： 2 2 ed 0 d ( ) d 12 d d B T W t t ?? ? (10) 式中：?为磁性材料电导率;d 为叠片厚度;T 为磁化周期;B 为磁通密度。

　　根据磁畴结构的随机统计分布特性，得到剩余损耗的表达式为： 1.5 ex 0 0 d d d T B W GSV t t ? ? ? (11)式中：S 为叠片横截面积;G 为无量纲常数， G=0.1375;V0 为损耗统计参数。基于场分离技术，总损耗可以进一步表示为： hys ed ex 0 0 0 hys ed ex 0 ( )d d d ( ( ) ( ) )d T T T T W H B B W W H B H B H B ? ? ?? ? ?? ? ?? (12) 式中：Hhys 为磁滞损耗对应磁场分量，可以由静态 J-A 模型得到;Hed 和 Hex分别为与频率相关的涡流场与剩余损耗场，表达式为： 2 ed d 12 d d B H t ?? (13) 0.5 ex 0 d d B H GSV t ? ? ? (14) 式中：?为符号函数，当 d d 0 B t ?时，? ?1 ;当 dB dt ? 0 时，? ??1。将涡流场 Hed 与剩余损耗场 Hex 的表达式代入静态 J-A 模型有效场 He的表达式(2)[19]： dyn e ed ex H H H H ? ? ? ( ) (15) 式中：Hdyn 为含动态场的有效磁场。进一步得到动态磁化微分表达式： dyn M an_dyn dyn dyn dyn dyn 0 M an_dyn dyn dyn d ( ) d d d d (1 )( ( ) ) d M M M ck M H B M M M ck k H ? ?? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? (16) 式中：Man_dyn为含动态有效磁场 Hdyn 的无磁化曲线表达式;Mdyn 为含动态有效磁场 Hdyn 的动态磁化强度。

　　2 高频叠加直流偏磁条件下 J-A 磁滞模型

　　2.1 直流偏磁下静态 J-A 模型修正

　　在直流偏磁工况下，铁磁材料受到直流磁密与交流磁密共同作用，产生的实际总磁密 Bs 如式(17) 所示。当交流磁密 Bac与直流磁密 Bdc同向叠加时，铁磁材料磁场迅速进入半周正向饱和;当二者反向，直流磁密降低磁场反向饱和值，导致磁滞回线呈现正负半周不对称状态，如图 1 所示。

　　由于直流磁密 Bdc 无法通过试验测量系统直接获取，本文提出基于无偏磁磁滞回线族与插值法快速提取直流磁通密度的方法。即：

　　1)将实验易于测量的无偏磁磁滞回线族作为已知数据，连接各磁滞回线首尾两点获取主磁滞回线单值 B-H 曲线[5](上升支与下降支间的曲线);

　　2)将主磁滞回线单值 B-H 曲线正半周对应曲线近似等效为偏磁条件下 Bt-HM曲线;

　　3)获取任意直流偏磁量 Hb、交流磁通密度 Bac 的磁滞回线对应最大磁场强度 HM，并导入单值 B-H 曲线，基于插值法获取 HM对应最大磁密 Bt [20];

　　4)根据公式(17)，提取任意偏磁条件下磁通密度 Bdc。

　　为了考虑直流偏磁对铁磁材料磁化过程的影响，对静态 J-A 模型的能量平衡方程，以及 Langevin 方程(无磁滞磁化曲线)、有效磁场强度、磁通密度的公式进行修正。

　　通过引入直流磁密 Bdc，推导出直流偏磁下磁化强度 Mbias 修正式为： bias s 0 dc ac 0 dc ac ( ) ( ) ( ) ( ) M t B t H B B t H M M t ? ? ? ? ? ? ?? ? (18) 式中：Mdc 为直流磁化强度分量;Mac 为交流磁化强度分量。直流偏磁下有效磁场 He_bias 修正式为： s e_bias bias 0 ( ) ( ) ( 1) ( ) B t H t M t ??? ? ? (19) 将修正式(17)至式(19)代入静态 J-A 模型，得到直流偏磁下修正静态 J-A 模型系列公式为： s ac dc bias ac dc e_bias bias 0 e_bias ant_bias s e_bias 0 ant_bias e_bais 0 bais e_bias 0 irr ant_bias bias ant_bias bias ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) coth( ) d d d d ( ) d d d s M M M B t B t B M M t M B t H M t H a M M a H M H M H k M M M M ck M H B ??? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ? e_bias ant_bias 0 bias ant_bias e_bias d (1 )( ( ) ) d M M M M ck k H ? ? ? 式中：Mant_bias 为直流偏磁下无磁化曲线表达式。

　　2.2 基于 R-L 分数阶导数改进的动态 J-A 模型修正??

　　传统损耗分离理论的涡流损耗表达式中含有瞬时磁通密度对时间的整数阶导数。整数阶导数的局部极限定义不适用于描述非局部、频率、历史等依赖性过程，导致传统损耗统计理论对铁磁材料的高频涡流损耗预测误差较大且存在过高估算的问题[15]。为了能够考虑涡流损耗对频率的依赖特性，引入 Riemann-Liouville(R-L)型分数阶导数，实现对高频涡流场及涡流损耗的解析建模和计算。 ? ? ?

　　R-L 型分数阶导数的具体形式如下[21]： 0 0 d ( ) 1 ( ) ( ) ( )d d (1 ) n t n n n t f t D f t t f t ? ? ???? ? ?? ? ? (21) 式中：n 为非整数阶，该系数的取值范围为 n ? (0,1) ;?() 为欧拉伽马函数[21]。

　　R-L 型分数阶定义式为分数阶微分算子形式，可以考虑变量?从初始时刻 0 到当前时刻 t 的整个过程的影响，体现了分数阶的时间记忆性与全局相关性的特点。这些特点使得分数阶相对于整数阶能够更加精确的描述具有幂律性、非局部、频率、路径或历史依赖特性的反常复杂物理现象[21]。此外， f t() 在 R-L 型分数阶导数的傅里叶变换中的表达式为(jω) n ·f(ω)。由于 n 可以为任意非负实数，因而分数阶微分算子可以描述对任意阶频率的依赖性，这为保证整个频率范围内涡流损耗计算精度提供了可能。

　　将传统涡流场表达式与 R-L 型分数阶导数(21) 相结合，推导出改进的涡流场 Hed_re 和改进涡流损耗 Wed_re 表达式为： ed_re d ( ) d n ac n B t H t ? ? (22) ac ac ed_re 0 d ( ) d ( ) ( )( )d d d n T n B t B t W t t t ? ? ? (23) 式中：?为阻尼系数，与铁磁材料厚度、磁导率、电导率等物理参数相关;n 为分数阶导数阶数，与频率-损耗曲线形状有关[22]。综合考虑铁磁材料中磁导率的不确定性及磁滞损耗与剩余损耗的影响，阻尼系数?取值应大于 2 ?d 12 ，分数阶导数阶数 n 取值应大于 0.5[15]。

　　当交流磁密 Bac为正弦波形时，式(22)可进一步表示为： ed_re ac cos( ) 2 n n H B t ?? ? ? ? ? (24) 将改进涡流场公式(22)与传统剩余场公式 (14)代入直流偏磁下静态 J-A 模型系列式(20)，按照 1.2节动态 J-A磁滞模型构建过程重新推导，可以得到高频磁场叠加直流偏磁条件下改进的动态 J-A 模型系列公式： 0.5 ac dyn e_bias 0 dyn ant_dyn s dyn 0 ant_dyn dyn 0 t dyn 0 irr ant_dyn t ant_dyn t dyn ant_dyn 0 t ant_dyn dyn d ( ) d ( ) d d coth( ) d d d d ( ) d d d d (1 )( ( ) ) d n n M M M M B t B H H GSV t t H a M M a H M H M H k M M M M ck M H B M M M ck H (25) 式中：He_dyn 为直流偏磁下基于 R-L 分数阶导数改进动态有效磁场;Mant_dyn 为含改进有效磁场的无磁化曲线表达式;dMt/dB 为高频磁场叠加直流偏磁条件下改进磁化强度微分表达式。

　　综上分析，直流偏磁下基于 R-L 分数阶导数改进的动态 J-A 模型建立流程如图 2 所示。

　　2.3 特征参数辨识

　　基于 R-L 分数阶导数改进的动态 J-A 模型面临的一个关键问题是特征参数，即阻尼系数?与导数阶次 n 的确定。当前没有相关文献对两个关键参数提出具体的表达式。而文献[14]提出了基于含分数阶导数的动态磁滞模型模拟在正弦激励下不同频率的动态磁滞回线，并将一个磁密下所模拟的两种频率(低频与高频)的磁滞回线面积与矫顽力与实验测量值做对比，确定参数?和 n 的取值。然而，这种方法所需数据量大且不能保证获取的?和n的值为全局最优。本文引入模拟退火算法实现精确、快速辨识?和 n 全局最优值。为对优化算法的求解精度进行有效评价，本文引入对误差极为敏感的均方根误差作为算法的目标函数(Rf)，进而将分数阶参数?和n的最优值辨识问题转化为求解目标函数最小值的优化问题。目标函数如式(26)所示： 2 t mea 1 f ( ( ) ( )) ( , ) N i W i W i R n N ????? (26) 式中：Wt 为基于分数阶导数改进动态 J-A 模型计算的损耗值;Wmea为损耗实测值;N 为不同频率损耗实测数据点个数。

　　模拟退火算法适用于求解不同的非线性复杂问题，不仅具有较强的鲁棒性、收敛性、隐含并行性和广泛的适应性，并且不需要任何的辅助信息，对目标函数和约束函数没有任何要求，能处理不同类型的优化设计变量(离散、连续和混合型)。虽然该算法局部寻优能力较差，但具有较强的全局搜索能力[23]。基于模拟退火算法的参数?和 n 辨识流程如图 3 所示。

　　步骤如下：

　　1)算法基本参数设置：设置初始温度 T0、降温速率 v、结束温度 Te以及 Metropolis 链长 L(每个温度迭代次数)。 2 ) 初 始 解 设 置 ： 设 置 特 征 参 数 初 始 值 0 b ? ? ( , ) n ，并设置当前温度下迭代次数 k 为 0。 3)生成新解：对当前解b0 实现一次随机扰动，获得一个可行新解b1，b1 与b0 满足： 1 0 b b ? ? ? rand l (27) 式中：rand 为随机数函数取值范围为[-1,1];l 为计算步长。 4)Metropolis 准则：将含特征参数的损耗计算表达式的损耗计算值与实测值的均方根误差函数计为 f(Rf)，当前解的函数值为 f(Rf(b0))，新解对应函数值为 f(Rf(b1))。新解增量记为 df(Rf(b1)-Rf(b0))，根据 Metropolis 准则，若 df<0 接受b1 为当前解，即 b0=b1;若 df>0 且 exp(-df/T)>rand，接受b1 为当前解;否则当前解保持不变。 5)降温：迭代次数满足：k=k+1，重复执行 k=L 次步骤 3)和步骤 4)，得到一个温度下 Metropolis过程的一个最优解;利用降温速率 q 降温，根据降温规则 T=qT，当 T

　　3 试验验证及结果分析

　　3.1 静态条件下磁滞回线模拟结果

　　利用 BROCKHAUS-MPG200 电工钢测试系统测取电工钢样品 27SQGD085 不同直流偏磁条件下(交流磁密 Bac 为 0.3~1.1T，测量步长为 0.1T;直流偏磁量 Hb 为 0~60A/m;频率 f 为 5Hz、10~100Hz, 测量步长为 10Hz，150~1000Hz，测量步长为 50Hz)的磁滞回线及损耗数据[24]，样品参数如表 1 所示。

　　根据本文 2.1 节所提方法，并利用磁滞回线测量值对直流磁密进行辨识。表 2 为部分交流磁密与直流偏磁条件下(交流磁密 Bac为 0.5、0.7、0.9T;直流场强 Hb 为 10、30、50A/m)直流磁密辨识结果。

　　基于随机优化算法-模拟退火(SA)与确定性优化算法(L-M)的混合算法[23][25]及表 2 所示直流磁密，对直流偏磁条件下静态 J-A 磁滞修正模型(公式(20))对应参数进行辨识。表 3 展示了 0.5T、0.7T 与0.9T不同直流分量下静态J-A磁滞修正模型参数辨识结果。

　　根据所辨识参数，对偏磁条件下磁化频率为 5Hz 的磁滞回线进行模拟，仿真曲线与实测磁滞回线对比如图 4 所示。将模拟得到的磁滞回线面积积分得到偏磁条件下磁滞损耗，并与实测损耗值对比，如表 4 所示。通过图 4 可以看出，仿真磁滞回线与实测磁滞回线较为吻合，且偏磁条件下磁滞损耗损耗预模拟值与实测值的误差绝对值最大为 4.11%，验证了本文所提静态 J-A 修正模型可用于直流偏磁条件下电工钢的静态磁滞特性模拟及磁滞损耗计算。

　　3.2 剩余损耗统计参数和特征参数辨识结果

　　剩余损耗计算模型中的统计参数 V0(表征磁体局部磁场分布)与交流峰值磁密 Bac和直流分量 Hb有关，可以根据不同交流磁密峰值、不同直流分量下损耗实测数据通过线性回归函数拟合得到。在正弦低频交变磁场叠加直流偏磁分量激励下，总损耗测量值 Wt,m(Bac,Hb)与式(10)得到的涡流损耗计算值 Wcl(Bac)之间的差值与频率 f 的 0.5 次方满足线性关系[15]，如式(28)所示。基于线性回归拟合获取 kex 值，进一步可辨识出参数 V0。 0.5 t,m ac b cl ac h ex W B H W B W k f ( , ) ( ) ? ? ? (28) 式中：Wh 为拟合获取磁滞损耗值;kex 为剩余损耗系数， 1.5 ex 0 ac k GSV B ? 8.76 ? 。

　　利用 10Hz、30Hz、50Hz、80Hz、100Hz 下不同交流峰值磁密、不同直流分量的损耗测量值辨识 V0。以 Bac=0.5T、0.9T 为例，图 5 给出了在不同直流分量下的线性回归曲线。综合分析图 5 和表 5 可知，在相同交流峰值磁密下，随着直流分量的增加参数 V0 也随之增大。因此，通过统计参数 V0(Bac,Hb) 可以考虑直流偏磁对剩余损耗的影响。

　　为了便于快速得到直流偏磁下的统计参数 V0(Bac,Hb)，本文将借助多元回归分析方法，基于表 5 给出的相关数据，得到 V0(Bac,Hb)与无直流偏磁下的统计参数 V0(Bac,Hb=0)、Bac、Hb 之间的数值关系。首先，将 V0(Bac,Hb)按照对应的 V0(Bac,Hb=0)进行归一化处理，如式(29)所示[10]。然后，采用多元回归分析方法，拟合出 V0_归一化与交流峰值磁密 Bac 和直流分量 Hb 之间满足的有理函数的未知系数，详见式(30)。按照式(30)绘制了图 6 所示的归一化统计参数 V0_归一化与交流峰值磁密 Bac、直流分量 Hb 之间的三维关系图。利用式(29)、式(30)及 V0(Bac,Hb=0)的取值，可以实现对任意交流峰值磁密、直流分量下的剩余损耗统计参数 V0(Bac,Hb)的求解。

　　表 6 给出了直流偏磁量 Hb=60A/m 时，不同交流磁通密度 Bac下，V0(Bac,Hb)计算值(公式(29)、(30)) 与提取值(公式(28))的对比。通过对比可以看出，计算值与提取值较为吻合，误差绝对值不超过 7.5%，验证了 V0(Bac,Hb)计算函数表达式可以满足计算要求。

　　根据 2.3 节分析，选择交流磁密 Bac=0.5T、0.9T，直流分量 Hb=10A/m、30A/m、50A/m，频率 f=100Hz、 500Hz 时对应的损耗测量值作为算法的拟合数据点，保证所获得的?和 n 最优值能够满足任意磁通密与直流分量条件下的不同频率的损耗预测。基于模拟退火算法辨识的?和 n 最优值分别为 0.029 和 0.842，目标函数值随温度迭代次数的变化曲线如图 7 所示。

　　在工频或更高频段下直流偏磁条件下磁滞特性的模拟应考虑涡流损耗与剩余损耗的影响。结合 3.2 节所获取的损耗统计参数 V0 和分数阶特征参数辨识值，并根据 1.2 节与 2.2 节所提动态 J-A 模型及基于 R-L 分数阶导数改进动态 J-A 模型分别对不同频率直流偏磁 Hb=50A/m，交流磁密 Bac=0.7T、 0.9T 条件下对应动态磁滞回线进行模拟并与实测值比较，如图 8 所示。由图 8 可以看出，动态 J-A 模 型 及 其 基 于 分 数 阶 改 进 模 型 在 低 频 段(50~200Hz)模拟得到的动态磁滞回线与实测曲线较为吻合。而在更高频段，由于集肤效应凸显，损耗分离理论及其公式不再适用，1.2 节构建的动态 J-A 模型模拟的动态磁滞回线的矫顽力及底部尖端相较于测量曲线均增大，并最终导致所模拟的动态磁滞回线面积(损耗)偏大。而 2.2 节构建的基于分数阶导数改进动态 J-A 模型能够有效抑制所模拟动态磁滞回线面积偏大的趋势，使得所模拟动态磁滞回线更接近实测值。两类动态 J-A 模型对电工钢样品在不同频点下损耗(动态磁滞回线面积)的模拟误差绝对值对比结果如图 9 所示。由对比结果可知，相较于动态 J-A 模型，基于改进动态 J-A 模型在更高频段(400-1000Hz)范围内模拟的损耗值误差得到抑制，其在整体频段下模拟损耗的误差绝对值不超过 8%，验证了所提方法的有效性。

　　将第 2.1 节给出的直流偏磁下静态 J-A 修正模型与传统损耗分离理论相结合构建损耗计算模型一(式(10)、式(11)与式(20));将模型一中的涡流损耗分量替换为本文所提出的基于R-L分数阶导数的改进涡流损耗表达式，实现损耗计算模型二的构建(式(11)、式(20)与式(23))。采用上述两种损耗计算模型对电工钢在交流磁密 Bac=0.5T、0.7T、 0.9T，直流分量 Hb=10A/m、30A/m、50A/m，频率区间为 10Hz~1000Hz 范围内的总损耗进行模拟，并将模拟结果与实测结果进行对比，如图 10~图 12 所示。通过对比可知，两种损耗计算模型在低频段(10~200Hz)的损耗模拟结果保持一致，而随着频率的进一步增加，模型一损耗计算值与测量值之间的偏差逐渐增大，而模型二损耗计算值在整个频率区间内则与测量值吻合良好。上述结果进一步验证了分数阶导数的引入实现了损耗计算模型在低频与高频范围内对损耗的整体模拟精确性。

　　为了便于定量分析两种损耗计算模型的全局预测精度，本文引入平均相对误差加以描述，表达式如下[15]： i,cal ac dc i,mea ac dc 1 i,mea 1 ( , ) ( , ) 100% n i W B B W B B n W ???? ? ? (31) 式中：n 为测量频点数量，在不同磁密和直流分量下的测量频率范围内(10~1000Hz)取 n=15，Wi,cal、 Wi,mea 分别为每个频点对应损耗计算值与实测值。

　　当交流磁密 Bac=0.5T、0.7T、0.9T，直流分量 Hb=10A/m、30A/m、50A/m 时，模型一和模型二损耗计算平均相对误差如表 7 所示。由表 7 可知，模型二的计算精度整体上优于模型一，说明基于 R-L 分数阶导数的损耗计算模型可以有效地对高频叠加直流偏磁条件下的损耗进行精确预测，验证了所提方法的准确性。

　　4 结论

　　针对高频交流磁场叠加直流偏磁条件下铁磁材料的磁滞与损耗特性精确模拟问题，本文开展了动态磁滞模型及其参数辨识算法的相关研究，得出如下结论：

　　1)在静态 J-A 磁滞模型中引入直流分量，改进 J-A 磁滞理论在直流偏磁下的能量平衡方程，以及无磁滞磁化曲线、有效磁场强度、磁通密度系列公式。在此基础上，考虑高频磁化条件下涡流损耗和剩余损耗对磁性体系能量的影响，基于损耗统计理论和分数阶微分算子，构建一种新型动态 J-A 磁滞模型。

　　2)结合全局优化算法—模拟退火算法，将动态 J-A 模型的损耗计算值与测量值之间的均方根误差最小化作为优化算法的目标函数，提出动态 J-A 模型特征参数(阻尼系数?及分数阶导数阶次 n)的寻优算法，实现模型特征参数的精确辨识。基于直流偏磁下损耗测量数据，辨识剩余损耗的统计参数 V0，并提出描述归一化 V0 的有理函数表征式。

　　3)以实验测量结果为基准，静态 J-A 模型修正模型对直流偏磁下磁滞损耗计算误差值最大为 4.11%;基于 R-L 分数阶导数的动态 J-A 模型对高频叠加直流偏磁下磁滞回线面积(损耗)模拟绝对误差值最大为 7.84%;本文所提损耗计算模型的损耗计算值平均相对误差最大为 7.35%。