基于GDOP的K阶覆盖雷达布站优化

　　摘要：无源雷达对目标的探测和覆盖性能依赖于接收站的几何布局，因此对接收站位置进行优化是十分必要的。本文以目标定位几何精度因子(Geometrical Dilution Of Precision，GDOP)作为雷达目标探测性能的衡量指标，综合考虑对探测目标的覆盖性能，建立了基于 GDOP 的 K 阶覆盖接收站位优化模型。该模型要求在雷达网络重点探测区域，目标至少被 K 种最小定位方式以较小的 GDOP 进行定位，从而保证了雷达定位精度和覆盖性能。本文提出了一种禁忌搜索-模拟退火 (Tabu Search-Simulated Annealing Algorithm，TSSA)算法对该模型进行求解。仿真结果表明，该算法能有效求解所提接收站优化配置问题，并能保证所优化配置的雷达网络同时具备较高的定位性能和覆盖性能。

　　关键词：K-覆盖;禁忌搜索;模拟退火;优化布站

　　李想; 洪升; 屈思宇; 赵志欣， 现代雷达 发表时间：2021-11-26

　　0 引 言

　　无源雷达[1-2]本身不发射电磁波，雷达接收站的位置部署对雷达探测性能有较大影响。雷达优化布站问题是近年来的研究热点[3]，其本质是以雷达收发站位置为变量对雷达相关性能指标进行优化。接收站优化布置过程中的评判指标主要有两类形式，一类是以探测性能为指标进行优化，如文献[4]中以漏警概率作为接收站位置的函数，通过极小化探测区域内的目标平均漏警概率对接收 站 位 置 进 行 优 化 。 文 献 [5] 以 最 小 化 (Geometrical Dilution Of Precision, GDOP)序列最小值和最大化有效监控区，建立了多基地雷达布站优化模型。文献[6]中提出了一种基于目标信噪比归一化的布站方法，克服了平均信噪比方法的缺陷，提高了雷达可探测范围。另一类以覆盖性能为指标进行布站优化，文献[7]考虑了离散目标的覆盖问题，其中覆盖优化问题被表述为 p 中心问题模型;并提出了一种随机 Voronoi 算法来求解。文献[7-8]主要研究了 1 阶覆盖问题，即要求目标至少被一个雷达单发单收对覆盖，未曾考虑雷达网络重点探测区域的 K 阶-覆盖问题。

　　在已有文献中，研究学者对无源雷达的接收站布置大多单独以探测性能或覆盖性能为指标进行优化，极少综合考虑探测性能指标和覆盖性能指标进行联合优化。本文基于 K 阶覆盖的原始涵义，对 K 阶覆盖的概念进行推广，将目标能被 K 种最小定位方式以较高的定位精度定位称为 K 阶覆盖。以目标定位精度为雷达网络探测性能指标，以 K 阶覆盖为雷达网络覆盖性能指标，将两者相结合，提出了基于目标定位精度的 K 阶覆盖站位优化问题。针对该问题，提出了一种禁忌搜索-模拟退火 (Tabu Search-Simulated Annealing Algorithm，TSSA)算法进行求解。最后通过仿真验证了该方法在求解基于 GDOP 的 K-覆盖布站优化问题中的有效性。

　　1 信号模型

　　对于双基地雷达系统，要实现对目标的三维空间定位，最少需要三个距离和的测量值。因此，本文定义由三个距离和测量值对目标进行三维定位的方式为最小定位方式。最小定位方式可以有不同的选择。这里，以 3 T-R 站型为最小定位方式进行介绍，其他方式可类推。图 1 给出了一个发射站和三个接收站构成的 3 T-R 站型，假设辐射源 M 、目标 Target 以及接收站 S1、 2 S 、 3 S 的位置坐标分别 为 m m m m  , ,  T t  x y z 、  , ,  T x  x y z 、 , , , 1,2,3  T i i i i s   x y z i ，目标到辐射源及各个接收站的距离分别为 RMT 、RTS1 、RTS 2 、RTS3，辐射源到各个接收站的距离分别为 RMS1 、 RMS 2 、RMS 3， 1 t 、 2 t 、 3 t 分别为辐射源信号经过目标反射到接收站 S1、 2 S 、 3 S 与信号直接到达接收站 S1、 2 S 、 3 S 的到达时间差。

　　式(1)中， RMSi 通常为一个已知值。因此，式(1)描述了以目标位置为未知变量的椭球方程。对于每个 i t ，目标位于以发射站和第 i 个接收站为焦点的椭球面上。目标的最终位置由三个椭球面的交点确定。通过求解方程(1)即可得到目标的坐标。假设目标的位置误差为 [ , , ]T d dx dy dz x  ，时差测量误差为 1 2 3 [ , , ]T d d t d t d t      t ，接收 站 S1 、 2 S 、 3 S 的 站 址 误 差 为 1 1 1 1 [ , , ]T d dx dy dz s  、 2 2 2 2 [ , , ]T d dx dy dz s  、 3 3 3 3 [ , , ]T d dx dy dz s ，辐射源 M 的站址误差为 m m m m [ , , ]T d dx dy dz t ，并且各测量误差以及其误差分量互不相关。对式(1)两端求微分有：

　　2 优化模型

　　2.1 K 阶覆盖

　　K 阶覆盖的实际意义在于区域的重点覆盖。通常，警戒区域内，只需一部雷达探测到目标即可。而在重点防御区域内，要求目标能被至少 K 部雷达进行有效探测，并且一般 K 大于 1。本文借鉴 K 阶覆盖的原始涵义，将 K 阶覆盖的概念进行推广：以目标的定位精度为雷达网络探测性能指标，以 K 阶覆盖为雷达网络覆盖性能指标，将两者相结合，提出了基于目标定位精度的 K 阶覆盖站位优化问题。所提出的站位优化模型，能够保证重点防御区域能被至少 K 种最小定位方式以较高的目标定位精度所覆盖。

　　2.2 模型建立

　　假设有三个不同发射站和三个接收站对区域内的目标进行定位。为建立基于 GDOP 的 K 阶覆盖模型，本文将三个发射站三个接收站结构，拆分为 3 个 3 T-R 站型的最小定位方式。每一个 3 T-R 站型可以实现对目标的三维定位，并可得到对应的定位精度 GDOP 值。3 个 3 T-R 站型的定位可以得到 3 个 GDOP 值。将重点防御区域进行空间离散，每个离散位置都为目标的潜在位置。假设共离散得到 I 个目标位置。针对第 i ( i I 1, 2, , )个离散目标位置，可由 3 个 3 T-R 站型进行定位，得到 3 个 GDOP 值，将这 3 个 GDOP 值，列写一个向量里，可得 ,1 ,2 ,3 [ ] GDOP g g g i i i i  ， ，，其中 i,1 g 、 i,2 g 、 i,3 g 分别为三个 3 T-R 站型对第 i 个目标点的定位精度 GDOP 值， i,1 g 、 i,2 g 、 i,3 g 详细求解方法由式(11)给出。若目标的定位精度 GDOP值小于某一门限值，则认为该目标能被 3 T-R 站型高精度定位到。若第 i 个目标对应的 GDOPi 中至少有 q 个GDOP值小于门限 ，则认为第 i 个目标能够实现 q 阶高精定位。假设三个发射站固定，建立 K 阶覆盖模型对三个接收站的位置进行优化。将第 i 个目 标 位置的 定位精度值向量 ,1 ,2 ,3 [ ] GDOP g g g i i i i  ， ，中第 K 小的值，称为 K 阶 GDOP 值，表示为 [ ] GDOP Ki 。对所有可能的接收站布站形式进行搜索。在每种可能的接收站布站形式下，计算重点防御空间内所有离散目标位置的 [ ] GDOP Ki ，并将其相加，得到 1 [ ] I i i GDOP K 。以 1 [ ] I i i GDOP K 为目标函数，可建立如下站位优化模型：式(12a)为目标函数，优化变量为接收站 S1、 2 S 、 3 S 位置坐标 ' ' ' ' ' , , , 1,2,3 T i i i i     x y z i   s 。式 (12b)中 i x 表示第 i 个离散目标的三维坐标，表示重点防御区域，也即本文对目标的定位性能评估范围。式(13a)中 x y z lb lb lb , , 和 x y z ub ub ub , , 规定了 中离散目标位置的坐标范围。式(13b)中 表示接收站的布站区域,  ' ' ' lb lb lb x y z , , 和  ' ' ' ub ub ub x y z , , 规定了 中接收站位置的坐标范围。在本文中，可按需构建 K  1, 2,3 阶覆盖模型。

　　3 模型求解

　　为求解模型(12)中的优化问题，本文在禁忌搜索 (Tabu Search, TS)算法[9]和模拟退火 (Simulated Annealing, SA)算法[10]基础上提出了一种全新的禁忌搜索退火算法 TSSA 算法。 TS 算法具有很强的全局搜索能力，引入禁忌表禁止重复前面的工作从而跳出局部最优解。其优点是有非常强的搜索能力，能够以较少的迭代次数迅速得出最优解的附近解，缺点是到中后期很难进一步减小目标函数值。SA 算法优点是迭代中后期仍拥有较好的爬山能力，缺点是能否最终收敛对初始值的设定有一定的依赖。因此，为充分利用 TS 算法前期的搜索能力和 SA 算法后期的爬山能力，本文考虑提出全新的 TSSA 算法对问题进行求解。 TSSA 算法利用 TS 算法的全局搜索能力以较少的迭代次数迅速得到最优解附近的解，然后将 TS 算法的输出解作为 SA 算法的初始解，再利用 SA 算法的爬山能力迅速收敛至全局最优解。

　　4 仿真分析

　　假设仿真场景位于 x-y-z 坐标系中，其中三个发射站的空间坐标为 (57km,34km,0.1km)，(12km,-43km,0.1km)， (5km,1km,0.1km)。将重点防御区域定义为     { 200km , 200km, 15km} x y z ，将该区域 进行空间离散化，离散分辨率为 5km，每个离散的空间位置为潜在目标位置。接 收 站 的 可 布 置 范 围 为     { 30km , 30km, 0.01km} x y z 。利用所提出的 TSSA 算法对上文模型 (12)进行求解。为验证所提算法的优越性，将 TS 算法和 SA 算法作为对比算法。三种算法中的具体参数如表 1 所示。表 1 中，T0 为退火初始温度，T_end 为退火终止温度，Tubesize 为禁忌表长度，a 为降火衰减参数，Nbhd 为领域解个数，maxgen 为最大迭代次数。

　　4.1 算法收敛性能分析

　　为对不同算法的收敛性能进行分析，图 3 给出了不同算法在相同初始值下求解 K 阶覆盖站位优化模型的目标函数值与迭代次数之间的关系曲线。将图中不同算法的求解迭代过程进行比较，发现 SA 算法始终保持下降趋势，但迭代结束陷入局部最优解，TS 算法和 TSSA 算法收敛速度较快，TSSA 算法的最优解优于 TS 算法的最优解。通过比较可知，TSSA 算法可求得最小的目标函数值，并且算法收敛速度快，效果更好。

　　4.2 算法优化性能对比

　　为评估不同算法求解站位优化问题的最终优化性能，采用两种性能指标：优化后的目标函数值和 q  2 阶高精定位覆盖率进行统计。表 2 给出了 K  2 阶覆盖站位优化模型下，不同算法的优化性能。其中 q 阶高精定位覆盖率的计算公式为： length find      q 100% q p I    α (14) 其 中 ， 高 精 定 位 覆 盖 率 计 算 门限为  1.2km ;  I 1 q  α 是由所有 I 个目标的 q 阶 GDOP 值构成的一个列矢量，即α q GDOP q GDOP q GDOP q (15) 式(15)中 GDOP q i 为 ,1 ,2 ,3 [ , , ] GDOP g g g i i i i 中第 q 小的元素，函数 findα  b为返回向量 α 中小于门限值 b 的所有元素，函数 length find( )  α  b 为返回向量 α 中小于门限值 b 的元素个数。

　　表 2 中，对比不同算法优化后目标函数值，可发现，TSSA 算法的目标函数值为三种算法优化后目标函数的最小值。由此可知，本文所提出的 TSSA算法拥有最强的全局最优解搜索能力。对比不同算法优化后的覆盖率，发现 TSSA 算法的 q  2 阶高精定位覆盖率为 95.94%，远高于其他两种对比算法。由此可知，本文所提出的 TSSA 算法能更有效地实现对重点防御区域的 q  2 阶高精度覆盖。因此，根据不同算法在两个性能指标上的对比，可知所提的 TSSA 算法明显优于对比算法。

　　4.3 算法稳定性分析

　　为了验证算法的稳定性，在 K  2 阶覆盖站位优化模型下，进行了 100 次蒙特卡罗 (Monte-Carlo, MC)仿真，每一次 MC 仿真中初始接收站位置是随机生成的。 图 4 给出了不同算法优化后在不同次 MC 仿真下的最优目标函数值。图 4 中，SA 算法波动最大，目标函数最优值分布不均匀;TS 算法和 TSSA 算法有着相对稳定的最优值分布，且 TSSA 算法求得的目标函数最优值总体要优于 TS 算法求得的目标函数最优值。将图 4 中不同算法的 100 次 MC 仿真最优目标函数值和 q  2 阶高精定位覆盖率进行数据统计，统计结果如表 3 所示。由表 3 可知，TSSA 的最优函数值标准差最小为 191.69，SA 为 780.75，说明 TSSA 算法拥有最高的稳定性，SA 的稳定性最差。根据不同 MC 仿真下，最优目标函数值及 q 阶高精定位覆盖的数据统计分析，可知 TSSA 算法的稳定性能均优于其他对比算法。

　　4.4 算法覆盖性能分析

　　分别针对 K 1、 K  2、 K  3 阶覆盖站位优化模型进行站位优化。在每种站位优化模型优化结果下的目标高精度覆盖性能可由 q 阶高精定位GDOP等高图和 q 阶高精定位覆盖率描述。基于 K 阶覆盖站位优化模型下优化求解出的接收站位置，可计算重点防御区域内所有目标位置的 q 阶 GDOP 值 GDOP q i  ， i I  1, 2, , ，从而得到重点防御区域内目标的 q 阶高精定位 GDOP 分布图，对应地，可得该 q 阶 GDOP 分布图对应的等高线图。在 q 阶高精定位 GDOP 分布图中，进一步统计 I 个目标中，GDOP 值小于门限值的目标个数，按照式(15)可计算 q 阶高精定位覆盖率 q p 。图 5、6、7 给出的高精定位 GDOP 等高图分别是利用 K 1、 K  2、 K  3 阶覆盖站位优化模型下求解得到的接收站位置进行计算得到。其中的子图(a)、(b)、(c)分别对应着 q  1、q  2、q  3 阶高精定位 GDOP 等高图。

　　在 q 阶高精定位 GDOP 等高图中，每个目标位处的 GDOP 值对应着 GDOPi 中第 q 小的值 [ ] GDOP qi 。对应地，有 [ ] [ [ 1 3 2] ] GDOP GDOP GDOP i i i  成立。因此，将相同阶覆盖站位优化模型下的图(a)、图(b) 和图(c)进行比较，会发现每个目标位置对应的 GDOP 值是逐渐增大的。如果进一步在图 (a)基础上统计 1 阶高精定位覆盖率 P1 ，在图 (b)基础上统计 2 阶高精定位覆盖率 P2 ，在图 (c)基础上统计 3 阶高精定位覆盖率 P3 ，会有 P P P 1 2 3  ，即目标的 q 阶高精定位覆盖率随着 q 增大而减小。分别针对不同 K 阶覆盖站位优化模型下的图(a)、(b)、(c)统计 q  1、q  2、q  3 阶高精定位覆盖率，统计结果如表 4 所示。表 4 展示了 K  1, 2,3 阶覆盖站位优化模型下的 q  1,2,3 阶高精定位覆盖率。由表 4 可知，相同阶覆盖站位优化模型下，即表 4 的每行元素，目标的 q 阶高精定位覆盖率随着 q 增大而减小，这和上文的分析是一致的。这意味着， q 值越小，被高精度定位的目标个数增多，也即目标的高精度覆盖性能就越好。

　　相同的 q 阶高精定位覆盖率下，即表 4 的每列元素中，对角线上元素是最大的。比如，第一列为统计 q  1 阶高精定位覆盖率，此时， K 1 阶覆盖站位优化模型下的高精定位覆盖率为 100%，较 K  2 和 K  3 阶模型下的高精定位覆盖率分别提高了 0.57%和 1.22%。第二列和第三列亦有着类似的结果。这意味着，K 阶覆盖站位优化模型严格保证了 q K阶高精定位覆盖率达到最优;而其他阶覆盖率不能达到最优。改变门限精度进行仿真，该结论仍然成立。

　　5 结束语

　　本文提出了一种基于 GDOP 的 K-覆盖优化问题，通过最小化所有目标 K 阶 GDOP 值之和来构建目标函数，建立布站优化模型。然后，提出了一种 TSSA 算法对提出的优化问题进行求解。仿真结果验证了该方法的有效性和优越性。