考虑应变补偿的铸态42CrMo钢本构模型

　　摘要: 采用 Gleeble-3500D 热模拟实验机对铸态 42CrMo 钢进行高温拉伸实验，应变速率范围为 0. 01 ～ 5 s - 1 ，变形温度范围为 1000 ～ 1150 ℃，得到铸态 42CrMo 钢在不同工艺参数下的流动应力 - 应变曲线，研究其高温拉伸成形工艺，分析变形温度和应变速率对铸态 42CrMo 钢流动应力的影响。考虑应变对各材料参数的影响，采用四次多项式拟合应变与各材料参数的线性关系，其相关系数 R 在 0. 95 以上; 借助传统 Arrhenius 模型拟合实验结果，建立考虑应变补偿的 Arrhenius 本构模型及基于应变补偿的采用 Z 函数表示的流动应力方程。计算结果表明，流动应力计算值与实验值的相关系数为 0. 992、平均相对误差为 6. 13% ，从而验证了该模型的准确性较高，可用于数值模拟。

　　本文源自陈园园; 李永堂; 庞晓龙; 齐会萍， 锻压技术 发表时间：2021-05-14

　　关键词: 铸态 42CrMo 钢; 高温拉伸变形; 应变补偿; 本构模型; Arrhenius 模型

　　研究金属及合金在热变形条件下的应力行为对金属成形过程 ( 热辗压、热轧、锻造和挤压) 具有重要意义。本构关系常被用于描述金属和合金的塑性流动特性，可应用于计算机数值分析，来模拟机械零件在一般载荷下的热加工行为[1 - 4]。热变形过程中的流动应力受到很多因素的影响，很多学者尝试采用实验测得的数据来研究材料的本构模型，从而描述材料的热变形行为[2，5 - 6]。

　　随着国内轴承工业的迅速发展，铸态 42CrMo 钢基于铸辗复合工艺生产的铸坯环件成为了研究重点。蔺永诚等[7]建立了铸态 42CrMo 钢形变奥氏体的静 态 再 结 晶 模 型; Lin Y C 等[2] 建 立 了 商 用 42CrMo 复合高强度钢在热压缩下基于应变补偿的修正本构模型，付甲、李永堂等[8]探讨了铸态 42CrMo 钢热压缩时的动态再结晶行为及应力本构模型，但是忽略了应变对应力的影响。

　　本文采用 Gleeble-3500D 热物理模拟试验机对该材料在热拉伸变形中不同变形温度和不同应变速率的影响进行了分析，建立了采用 Z 参数表达的 Arrhenius 流动应力本构模型，为铸态 42CrMo 钢铸辗复合工艺生产铸坯环件提供了理论依据，为数值模拟研究提供了数据基础。

　　1 铸态 42CrMo 钢高温拉伸实验与实验结果分析

　　1. 1 实验材料与方法

　　高温拉伸实验材料为铸态 42CrMo 钢，其化学成分 ( % ，质 量 分 数) 主 要 为 C 0. 4，Si 0. 23， Mn 0. 6，Cr 0. 98，Mo 0. 18，其余为 Fe。在 Gleeble3500D 热模拟实验机上对铸态 42CrMo 钢试样进行高温拉伸实验，试样尺寸如图 1 所示，变形温度为 1000、1100 和 1150 ℃，应变速率为 0. 01、0. 1、1 和5 s - 1 。将铸态42CrMo钢热拉伸直至断裂，实验流程如图 2 所示。

　　1. 2 实验结果分析

　　图 3 为铸态 42CrMo 钢在 1000、1100 和 1150 ℃ 下高温拉伸的流动应力 - 应变曲线，通过观察曲线可知，将铸态 42CrMo 钢的热变形曲线分为 2 类。

　　( 1) 曲线有明显峰值

　　以应变速率为 1 s - 1 、变形温度为 1000 ℃ 条件下的流动应力 - 应变曲线为例，随着应变的增大，流动应力迅速增加至 98. 9 MPa; 之后随着应变的继续增大，流动应力迅速减少直至为 0。

　　这是因为: 铸态 42CrMo 钢热变形过程中，在高温拉伸变形初期，加工硬化占主导作用，材料的流 动应力会迅速增大; 随着应变的增大，动态回复和再结晶起到一定的软化作用，流动应力增加、速度减慢; 之后产生了明显的动态回复和再结晶，其软化作用大于加工硬化作用，并占主导作用，导致变形后期随着应变的增大，流动应力急剧减小。

　　( 2) 曲线无明显峰值

　　以应变速率为 0. 001 s - 1 、变形温度为 1150 ℃ 条件下的流动应力 - 应变曲线为例，随着应变的增大，流动应力急剧增加; 然后缓慢增加至 27. 42 MPa 后，随着应变的增大，流动应力缓慢减少直至为 0。

　　这是因为: 在变形初期，加工硬化占主导作用，材料的流动应力会迅速增大; 此时变形温度为 1150 ℃，发生动态再结晶的速度很快，随着发生动态再结晶的比例越来越大，软化作用加强，流动应力增加速率减缓; 之后，随着动态回复和再结晶占主导作用，流动应力缓慢减小直至为 0。

　　根据不同变形条件下铸态 42CrMo 钢的流动应力 - 应变曲线 ( 图 3) 可以看出: 当应变速率不变时，随着变形温度的升高，峰值应力逐渐减小; 当变形温度不变时，随着应变速率的增大，峰值应力逐渐增大，断裂应变也逐渐增大。这是因为: 随着应变速率的增大，缩短了变形所需的时间，增大了位错增值和堆积程度，从而增大了再结晶驱动力，再结晶形核区域增多，且变形时间短，晶粒来不及长大，从而细化晶粒。而晶粒细小会导致晶粒内空位数量和位错数量减少，位错与空位、位错间的弹性交互作用机会减少，使位错更容易运动，应力集中程度降低，增大了断裂应变; 另一方面，由于裂纹穿越晶界进入相邻晶粒，必然改变其扩展方向，晶粒越细，裂纹扩展方向改变次数越多，裂纹扩展所消耗的能量越高，从而提高了断裂韧性，增大了断裂应变[9 - 11]。

　　2 本构模型的建立与修正

　　2. 1 Arrhennius 本构模型

　　一般来说，材料的热变形行为是一个热激活过程，变形温度和应变速率对流动应力的影响可以用 Arrhennius 模型表示[12 - 14]: ε · = A1σn1 exp - Q [ ] RT ( ασ < 0. 8) ( 1) ε · = A2 exp( βσ) exp - Q [ ] RT ( ασ > 1. 2) ( 2) ε · = A[sinh( ασ) ]n exp - Q [ ] RT ( 所有的 σ 下) ( 3)式中: ε · 为应变速率，s - 1 ; σ 为流动应力，MPa; Q 为热变形激活能，( kJ · mol - 1 ) ; R 为 气 体 常 数，R = 8. 314 J·( mol·K) - 1 ; T 为变形温度，K; A1， A2，A，n1，n，β 和 α 为材料常数，且满足关系式 α = β n1 。

　　温度补偿的应变速率因子 Z 的表达式为[15]: Z = ε · exp Q( ) RT = A[sinh( ασ) ]n ( 4) 将式 ( 4) 带入式 ( 3) 得到应用 Z 函数表达的流动应力方程，为: σ = 1 α ln Z ( ) A 1 n + Z ( ) A 2 n + [ ] { } 1 1 2 ( 5) 分别对式 ( 1) 和式 ( 2) 的两边取对数，并整理得: 1 n1 = lnσ lnε · ( 6) 1 β = σ lnε · ( 7) 固定变形温度 T，在式 ( 3) 两边取对数并求偏导，整理得: 1 n = lnsinh( ασ) lnε [ ] · T ( 8) 固定应变速率ε · ，在式 ( 3) 两边取对数并求偏导，整理得: Q = Rn lnsinh( ασ) ( 1 /T [ ] ) ε · ( 9) 对式 ( 4) 两边取对数，并整理得: lnZ = ln ε · + Q RT = lnA + nln[sinh( ασ) ] ( 10) 对式 ( 10) 两边求偏导，并整理得: n = lnZ ln[sinh( ασ) ] ( 11)

　　取应变 ε = 0. 15 的数据为例，由式 ( 6) 看出，曲线 lnσ - ln ε · 的斜率倒数为 n1，如图 4 所示，得 n1 = 8. 62664; 由式 ( 7) 可以看出，曲线 σ - ln ε · 的斜率倒数为 β，如图 5 所示，得 β = 0. 15452 MPa - 1 ; 由此，α = β n1 = 0. 017912 MPa - 1 。由式 ( 8) 可以看出，曲线 lnsinh( ασ) - lnε · 的斜率倒数为 n，如图 6 所示，得 n = 6. 48873; 绘制 lnsinh( ασ) - 1 /T 关系曲线，如图 7 所示，得斜率的平均值lnsinh( ασ) ( 1/T) 为 5609. 54395，代入式 ( 9) 得 Q =302638. 0141 J·mol -1 。根据式 ( 10) ，计算不同变形温度和应变速率下的 lnZ 值; 绘制 lnZ - lnsinh( ασ) 的关系曲线，如图 8 所示，计算其斜率平均值，由式 ( 11) 得 n =6. 53867 MPa -1 ，由式 ( 10) 得图8 中截距为 lnA =22. 09675; 将 n 代入式 ( 9) 得 Q = 304967. 1857 J·mol - 1 ，此方法求得的 n 值和 Q 值更加准确，可应用于铸态 42CrMo 钢基于应变速率的本构模型中[16]。

　　2. 2 基于应变补偿的本构模型修正

　　在某一应变下，Arrhenius 本构模型可以较好地预测流动应力，但未考虑热变形中应变对流动应力的影响，不能预测铸态 42CrMo 钢在不同应变下的流变应力值，需要对传统的 Arrhenius 本构模型进行应变修正补偿[16]。

　　采用上文同样的方法可以计算出应变范围在 0. 05 ～ 0. 75、间隔为 0. 05，不同应变条件下对应的材料参数 α、n、Q 和 lnA，如表 1 所示。根据表 1 数据进行四次多项式拟合，拟合结果如图 9 所示，拟合得到的材料参数 α、n、Q 和 lnA 的四次方程表达式如表 2 所示，相关系数 R'均高于 0. 95，表明材料参数的四次多项式拟合效果较好。

　　将表 2 中的材料参数的四次方程表达式代入式 ( 3) ，得到铸态42CrMo 钢在变形温度为1000 ～1150 ℃、应变速率为 0. 01 ～ 5 s - 1 时的考虑应变补偿的 Arrhenius 本构模型为: ε · = A( ε) { sinh[α( ε) σ]} n( ε) exp - Q( ε) 8. 314 [ ] T ( 12)

　　将表 2 中的 Q( ε) 表达式代入式 ( 4) 得: Z( ε · ，T，ε) = ε · exp Q( ε) 8. 314 ( ) T ( 13) 将 α( ε) 、A( ε) 、n( ε) 及 Z( ε · ，T，ε) 表达式代入式 ( 5) ，得到铸态 42CrMo 钢基于应变补偿的流动应力方程，用 Z 函数表示为: σ = 1 α( ε) ln Z( ε · ，T，ε) A( ε ( ) ) 1 n( ε) + Z( ε · ，T，ε) A( ε ( ) ) 2 n( ε) + [ ] { } 1 1 2 ( 14)

　　3 基于应变补偿的本构模型的验证及误差分析

　　采用上文建立的本构模型 ( 式 ( 14 ) ) 计算出不同条件下的流动应力值，与实验流动应力值进行 对 比，对 比 结 果 如 图 10 所 示，可 知 铸 态 42CrMo 钢在不同条件下基于应变的本构模型计算的流动应力值与实验得到的流动应力值吻合较好。为了更准确地定量评估该本构模型，引入相关系数 R 和相对平均误差 AARE 对模型进行精确度评价[17]:

　　式中: σi exp和σ - exp为实验得到的流动应力值及其平均值; σi p 和σ - p 为本构模型计算的流动应力值及其平均值; N 为实验数据个数; i 为实验序号。

　　如图 11 所示，计算出流动应力预测值与实验值之间相关系数和平均相对误差分 别 为 0. 992 和 6. 13% ，因此，基于应变补偿的 Arrhenius 本构模型能够较精确地反映铸态 42CrMo 钢材料的热变形性能。

　　4 结论

　　(1) 当变形温度不变时，铸态 42CrMo 钢随着应变速率ε · 的增大，流动应力 σ 逐渐增大; 当应变图 11 流动应力计算值与实验值之间的相关性 Fig. 11 Correlation between calculational and experimental values of flow stress 速率ε · 不变时，随着变形温度的升高，流动应力 σ 逐渐减小。铸态 42CrMo 钢的高温变形曲线可分为有明显峰值和无明显峰值两类。

　　( 2) 铸态 42CrMo 钢的 Arrhenius 本构模型参数 α、n、Q 和 lnA 与应变 ε 有关，采用四次多项式表示应变对材料参数的影响，拟合出的材料参数曲线具有较好的相关性，相关系数高于 0. 95，并得到材料参数 α、n、Q 和 lnA 的四次方程表达式。

　　( 3) 建立了基于应变补偿的铸态 42CrMo 钢高温拉伸变形 Arrhenius 本构模型，将计算出的流动应力值与实验值进行对比，结果吻合较好，其相关系数 R'为 0. 992、相对平均误差 AARE 为 6. 13% ，可为实际生产和数值模拟提供依据。