微分法在概率密度函数中的应用与实例介绍

　　摘要：该文类比离散型随机变量求分布函数的方法，应用微分法简化求解一维、二维连续性随机变量的概率密度函数，并应用于相应的实例。

　　关键词：微分法;连续性随机变量;概率密度函数

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　　1 概述

　　微分法在概率统计中随机变量函数的分布中有广泛的应用。若随机变量Y是随机变量X的函数，已知X的分布，如何求Y的分布。对于离散型随机变量方法简单。但若X，Y是连续性随机变量，常规方法是“分布函数法”，即先由X，Y的函数关系用随机变量Y的函数来表示X，再由X的分布函数推导出Y的分布，进而得到Y的概率密度函数。由此可见“分布函数法”要经历先积分再求导的系列复杂过程，但如果借鉴离散型随机变量解决方案，借助微分法这种繁杂琐碎的计算麻烦便可迎刃而解。朱慧敏[1]探讨了利用Newton微元法求连续性随机变量函数的概率密度的一些方法;文献[2]给出了求连续性随机变量函数的概率密度函数的一般方法。为更好弥补以上方法的不足，本文从微分法的基本思想人手，给出连续性随机变量或向量函数的概率密度的简易方法，从而使得计算更简便实用，并给出相应的实例。

　　2 微分法在一维随机变量函数中的应用及实例

　　2.1 引例：离散型随机变量X的分布列如下：

　　求Y=x2的分布。

　　解：Y的取值分别为0，1，4，9。

　　P(Y=0)=P(X2=0)=P(X=0)=0.3

　　P(Y=1)=P(X2=1)=P(X=-1)+P(X=1)=0.3.。P(Y=4)=P(X2=4)P(X=-2)+P(X=2)=0.3.P(Y=9)=P(X2=9)=P(X=3)=0.1

　　故随机变量Y分布为：

　　求连续型随机变量函数的概率密度函数，常规方法是先求分布函数，进而通过求导数得解。我们欲用完全类似离散型随机变量函数求分布的简单方法来解决连续型随机变量的分布问题，也就是微分法。

　　2.2 微分法

　　定理1.1若D为开集，使得P(x∈D)=1且对Vx∈D，P(X=x)=g(x)dx，则g(x)，x∈D为X的密度，记为X～g(x)。

　　分析：设X的分布函数为F(x)，F(x)在x处连续可微，则

　　证明因为P(x∈D)=1，所以对于x∈D°，则P(X=x)=0。故F(x)在D内连续。

　　又因为Vx∈D，P(X=x)=g(x)dx，且F(x)=D内连续。所以F(x)在R上连续且除去最多可列个点外连续可微。

　　于是f(x)=(F"'(x)，x∈D;为x的概率密度。

　　又P(X=x)=F'(x)dx=g(x)dx，所以g(x)，x∈D为X的密度。

　　如果X的分布函数为F(x)，F'(x)存在且连续，x=h(y)连续可导，P(X=h(y))=f(h(y)).|h'(y)|dy.由此可得以下推论：

　　推论1.1 若X的概率密度为f(x)，Y=g(X)，开集D使得P(Y∈D)=1且对y∈D，P(Y=y)=P(X=h(y))=f(h(y).|dh(y)|)=f(h(y))-|h'(y)|dy，其中h(y)为y=g(x)的反函数，且在D中分段严格单调可微，则Y～f(h(y)).|h(y)|y∈D.

　　例2.1 设随机变量X～N(μ，82)，试证Y=一、M～N(0，1)。δ

　　证明对y∈D=(-∞，+∞)，且满足推论1的条件，

　　故Y～N(0，1)。

　　在研究物理、化学的变化造成的断裂或失效时的固件寿命，如绝缘体构成的固体的寿命，常用对数正态分布。下面介：绍一个它的实例。

　　例2.2 如果X～N(μ，82)，则称Y=eX的分布是参数为(μ，82)的对数分布，试求Y的概率密度。

　　Weibull分布是一种最常用的分布，一般金属构造的仪器.或设备都是使用寿命都服从Weibull分布。实际经验表明，许多电子元件及机器设备的使用寿命都服从Weibull分布，凡是局部固件的失效或故障引起全局工作停止运行的设备的寿命近似服从Weibull分布。其分布源于指数分布，服从指数分布具有无记忆性。由它变形而来。在产品的可靠性研究中，它基本是服从Weibull分布，两个参数。对于数学家、统计学家而言参数越少越好，但是工程师则喜欢参数越多越好，这样便于调试。下面也举一个实例。

　　例2.3 如果X～E(1)，则Y=服从参数为(a，b)的Weibull分布，其中a，b为正常数。

　　解P(Y》0)=1又X的密度函数为fx(x)=e”*，x》0，于是对任何y》0，由

　　由推论1.1知，Y的概率密度fy(y)=e～ay' abay'，b-1，y》 0.

　　把定理1再推广一下，得到以下推论：

　　推论1.2 设X的密度函数为f(x)，Y=g(X)的反函数为X=h(Y)，开集D使得P(Y∈D)=1，如果h;(y)在D上分段嚴格单调

　　注1 我们称上述方法为概率密度的微分法。

　　注2 当组仅当集合A=B时，P(A)=P(B).

　　注3 当且仅当A;(i=1，2，.，n)互不相容时，P(U A;)=

　　例2.5 设X～U(-a，a)a》0，求Y=元的分布。

　　例2.6 设X～E(入)，求Y=X，X》 1，-x2，X《 1 的分布。

　　3 微分法在二维随机向量函数中的应用

　　一维连续性随机变量X有密度函数f(x)，当f(x)在x处连续时，则P(X=x)=g(x)dx，推测二维随机变量(X，Y)有联合密度f(x，y)，当f(x，y)在(x，y)连续，则P(X=x，Y=y)=f(x，y)dxdy.

　　定理3.1如果开集D使得P(x，y)∈D)=1，g(x，y)在D内连续，且P(X=x，Y=y)=f(x，y)dxdy，(x，y)∈D，则(X，Y)有密度函数f(x，y)，(x，y)∈D，记为(X，Y)～g(x，y)。

　　由微积分知识知道，若x=x(u，0)y=y(u，v)在开集D内连

　　例3.2 设(X，Y)～f(x，y)，若U=2X-Y，V=2X +3Y，求(U，V)的联合密度。

　　解：对于任何(u，0)，有

　　定理3.2 若

　　例3.3 设随机变量X，Y相互独立，且都服从标准正态分布，

　　例3.5 设随机变量X，Y相互独立，且都服从标准正态分布，

　　4 结束语

　　综上所述，运用微分法求解一维或二维随机变量的函数概率密度函数是一种更为简单有效的计算方法。

　　参考文献：

　　[1]朱慧敏.运用Newton微元法求解概率密度函数[J].复旦学报：自然科学版，2011，50(1)：65-70.，

　　[2]盛骤，谢式千.概率论与数理统计及其应用[M].北京：高等教育出版社，2010.

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